Признаки и свойства равнобедренной трапеции

У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда \(\angle B = \angle C\) и, следовательно, \(\angle D + \angle B - \angle C = \angle D = \angle A\).

У равнобедренной трапеции сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\) (так как \(\angle C = \angle B\), а \(\angle A + \angle B = 180^{\circ}\), как сумма односторонних при параллельных прямых и секущей).

\(\angle A + \angle C = 180^{\circ}\),

\(\angle C - \angle A = 80^{\circ}\)
тогда, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем \(2\cdot \angle A = 100^{\circ}\). В итоге имеем: \(\angle D + \angle B - \angle C = \angle A = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому \(AC = BD = 2\). Пускай \(O\) – точка пересечения диагоналей.

\[\begin{gathered} S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2}\cdot AC \cdot OD =\\ =\frac{1}{2}\cdot AC \cdot(BO + OD) = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\end{gathered}\]

Ответ: 2

Пусть \(ABCD\) — трапеция с диагоналями \(AC\) и \(BD\), \(O\) – точка их пересечения, тогда
\(S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2}\cdot AC \cdot OD = \)
\(\frac{1}{2}\cdot AC \cdot(BO + OD) = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2}\cdot AC^2 = 8\) \(\Rightarrow\) \(AC = 4\).

Ответ: 4

Если опустить высоты \(BH\) и \(CK\) на основание \(AD\), то они отсекут равные отрезки \(AH\) и \(KD\), причем \(AB = BC = HK\) \(\Rightarrow\) \(AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{HK}{2} = \frac{AB}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\angle ABH = 30^\circ\), как угол в прямоугольном треугольнике, противолежащий катету, равному половине гипотенузы \(\Rightarrow\) \(\angle BAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Ответ: 60

Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\), \(BE\) – высота в треугольнике \(ABD\). \(\angle ABE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Катет, лежащий против угла в \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы, тогда \(AE = 0,5\cdot 6 = 3\).



У равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, тогда \(\angle D = 60^{\circ}\). Пусть \(CF\) – высота в треугольнике \(ACD\), тогда аналогично тому, как находили \(AE\), находим, что \(FD = 3\). \(EF = BC\), так как \(BCFE\) – прямоугольник. Тогда \(AD = AE + EF + FD = 3 + 4 + 3 = 10\).

Ответ: 10

\(BC\) – меньшее основание, треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\) подобны и их стороны относятся как \(1:7\) \(\Rightarrow\) \(BC:AD = 1:7\) \(\Rightarrow\) \(AD = 7\); \(OB = OC\), \(OB^2 + OC^2 = 1^2\) \(\Rightarrow\) \(OB = OC = \frac{1}{\sqrt2}\) \(\Rightarrow\) \(AO = \frac{7}{\sqrt2}\). В \(\triangle ABO\): \(AO^2 + OB^2 = AB^2\) \(\Rightarrow\) \(AB = 5\). Тогда \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 1 + 7 + 5 + 5 = 18\).

Ответ: 18

\(BCDK\) – параллелограмм, т.к. противоположные стороны попарно параллельны; \(\angle AKB = \angle KBC\), т.к. накрест лежащие при параллельных \(BC\) и \(AD\); \(\angle BAK = \angle CDK = \angle KBC\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABK\) – равносторонний треугольник. \(BC = KD = 4\) \(\Rightarrow\) \(AK = 2 = AB = CD\) \(\Rightarrow\) \(P_{ABCD} = AB + BC + CD + KD + AK = 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 14\).

Ответ: 14