Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет (страница 2)

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины \(T=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(300\) рублей на первом и втором заводах соответственно, то \(1\,200\,000=100(5t^2+3p^2)\).
Выразим \(t=T-p\) и подставим в уравнение: \[1\,200\,000=100(5(T-p)^2+3p^2) \quad\Leftrightarrow\quad 8p^2-10Tp+5T^2-12000=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=100T^2-4\cdot 8(5T^2-12000)=4\cdot 8\cdot 12000-60T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \(T^2\leqslant 4\cdot 8\cdot 200=8^2\cdot 10^2\), следовательно, \(T\in [0;80]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=80\).
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для \(t\) и \(p\) (так как это количество продукции).
При \(T=80\) дискриминант \(D=0\), следовательно, \[p=\dfrac{10\cdot 80}{2\cdot 8}=50 \quad\Rightarrow \quad t=80-50=30.\] Таким образом, проверка удалась и ответом является \(T=80\).

Ответ: 80

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=\frac{100+r}{100}\), \(x=777\,600\) и \(y=1\,317\,600\) и составим таблицу для обоих случаев (когда кредит выплачивался 4 года и 2 года): \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline 4 & t(t(tA-x)-x)-x& t(t(t(tA-x)-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(t(t(tA-x)-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^4A=x(t^3+t^2+t+1) \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}\quad(*)\] \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & y\\ \hline 2 & tA-y & t(tA-y) &y\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(tA-y)-y=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^2A=y(t+1) \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{y(t+1)}{t^2}\quad(**)\] Приравняем правые части уравнений \((*)\) и \((**)\): \[\dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}=\dfrac{y(t+1)}{t^2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x(t^2+1)}{t^2}=y\] Сделаем подстановку и найдем \(t\): \[t^2=\dfrac{x}{y-x}=\dfrac{777\,600}{1\,317\,600-777\,600}= \dfrac{7776}{5400}=1,44\] Тогда \[t=\sqrt{1,44}=1,2 \quad\Rightarrow\quad r=20.\]

Ответ: 20

Пусть \(A\) рублей — сумма, взятая в кредит. Обозначим \(0,01r=y\) и составим таблицу. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+ y\cdot A & y\cdot A+\frac A{15}\\ \hline 2 & A-\frac A{15} & A-\frac A{15}+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right) & y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\frac A{15}\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline 15 & \frac A{15} & \frac A{15}+y\cdot \frac A{15} & y\cdot \frac A{15}+\frac A{15}\\ \hline \end{array}\] Заметим, что сумма первых слагаемых из последнего столбца и есть переплата по кредиту. Так как общая сумма выплат по кредиту превышает сумму кредита на \(120\%\), то это значит, что переплата составляет \(120\%\) от кредита. Следовательно: \[\begin{aligned} & y\cdot A+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\dots+y\cdot \frac A{15}=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad \\[2ex] \Leftrightarrow\quad &y\cdot A\cdot \left(1+\left(1-\frac1{15}\right)+\dots+\frac1{15}\right)=1,2\end{aligned}\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где \(a_1=1\), \(a_{15}=\frac1{15}\). Следовательно: \[y\cdot A\cdot \dfrac{1+\frac1{15}}2\cdot 15=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad 8y=1,2\quad\Leftrightarrow\quad y=0,15\] Следовательно, \[r=100y=15 \ (\%)\]

Ответ: 15

Из условия следует, что система платежей дифференцированная. Исходя из этого составим таблицу следующим образом: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 9 & 9+0,2\cdot 9 & 0,2\cdot 9+\frac9n\\ \hline 2 & 9-\frac9n & 9-\frac9n+0,2\cdot \left(9-\frac9n\right) & 0,2\cdot \left(9-\frac9n\right)+\frac9n\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline n & \frac9n & \frac9n+0,2\cdot \frac9n & 0,2\cdot \frac9n +\frac9n\\ \hline \end{array}\] Тогда общая сумма выплат после погашения равна сумме всех платежей: \[0,2\cdot \left(9+9-\frac9n+\dots+\frac9n\right)+n\cdot \frac9n= 0,2\cdot \left(9+9-\frac9n+\dots+\frac9n\right)+9\] Заметим, что при дифференцированной системе платежей наибольший платеж – это первый платеж. Следовательно, \[0,2\cdot 9+\frac9n=3,6\quad\Rightarrow\quad n=5\] Таким образом, общая сумма выплат равна \[0,2\cdot \left(9+\left(9-\frac95\right)+\left(9-2\cdot \frac95\right)+ \left(9-3\cdot \frac95\right)+\frac95\right)+9=0,2\cdot \left(9\cdot 4-5\cdot \frac95\right)+9=14,4\]

Ответ: 14,4

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=1,3\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(t(tA-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^3A=x(t^2+t+1) \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{At^3}{t^2+t+1}\] По условию \(3x-A=156\,060\), следовательно, \[\dfrac{3At^3}{t^2+t+1}-A=156\,060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2,197A-3,99A=156060\cdot 3,99 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{156060\cdot 3990}{2601}=60\cdot 3990=239\,400\]

Ответ: 239400

Так как выплачивается кредит дифференцированными платежами, то если \(n\) – количество лет, на которое взят кредит в \(7\) млн. рублей, значит, каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac7n\) млн. рублей. Значит, в последний, \(n\)-ый год, долг будет равен \(\frac7n\) млн. рублей. Платеж, как и обычно в дифференцированных платежах, состоит из процентов, набежавших на сумму долга в этот год, плюс \(\frac7n\) млн. рублей.
Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 7 & 7+0,2\cdot 7 & 0,2\cdot 7+\frac7n\\ \hline 2 & 7-\frac7n & 7-\frac7n+0,2\left(7-\frac7n\right) & 0,2\left(7-\frac7n\right)+\frac7n\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline n & \frac7n & \frac7n+0,2\cdot \frac7n & 0,2\cdot \frac7n+\frac7n\\ \hline \end{array}\] Тогда переплата по кредиту равна сумме первых слагаемых из столбца “Платеж”: \[0,2\cdot 7+0,2\cdot \left(7-\dfrac7n\right)+\dots +0,2\cdot \dfrac7n= 0,2\cdot \left(7+\left(7-\frac7n\right)+\dots+\dfrac7n\right)=\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен \(7\), разность равна \(-\frac7n\), последний член равен \(\frac7n\), а всего членов \(n\) штук. Следовательно, \[=0,2\cdot \dfrac{7+\frac7n}2\cdot n=0,7(n+1)\] Это мы вычислили переплату по кредиту. С другой стороны, если общая сумма выплат после погашения кредита составила \(17,5\) млн. рублей, а в кредит было взято \(7\) млн. рублей, то переплата равна \(10,5\) млн. рублей. Следовательно, \[0,7(n+1)=10,5\quad\Rightarrow\quad n=14\]

Ответ: 14

Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{год} & \text{июнь}& \text{январь} & \text{платеж} \\ \hline 2020 & A & A+0,2A & x_1=0,2A+0,2A\\ \hline 2021 & 0,8A & 0,8A+0,2\cdot 0,8A & x_2=0,2\cdot 0,8A+0,4A\\ \hline 2022 & 0,4A & 0,4A+0,2\cdot 0,4A & x_3=0,2\cdot 0,4A+0,4A\\ \hline 2023 & 0 & &\\ \hline \end{array}\] По условию \[\begin{cases} x_1=0,4A<5\\ x_2=0,56A<5\\ x_3=0,48A<5\end{cases}\quad\Rightarrow\quad A<\dfrac5{0,56}=8\frac{52}{56}\] Следовательно, наибольшее целое \(A=8\).

Ответ: 8