В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) лежит на ребре \(AB\), а точка \(L\) лежит на ребре \(CD\), причем \(AK = KB\), \(CL = LD\). Найдите квадрат косинуса двугранного угла между плоскостями \(A_1BC\) и \(A_1KL\).
Так как три ребра, выходящие из одной вершины куба, попарно взаимно перпендикулярны, то ребро \(A_1D_1\) перпендикулярно плоскости грани \(AA_1B_1B\) \(\Rightarrow\) \(AA_1B_1 \perp A_1BC\) и \(AA_1B_1 \perp A_1KL\), тогда величина линейного угла \(\angle KA_1B\) совпадает с искомым двугранным углом.
Примем сторону куба за \(x\) и рассмотрим треугольник \(\triangle A_1KB\): \(KB = \frac{1}{2}\cdot AB = \frac{1}{2}x\), \(A_1B\) – диагональ квадрата \(\Rightarrow\) \(A_1B = \sqrt2x\), а сторону \(A_1K\) можно найти по теореме Пифагора из треугольника \(\triangle A_1AK\):
\[A_1K^2 = A_1A^2 + AK^2 = A_1A^2 + (\frac{AB}{2})^2 = x^2 + \frac{x^2}{4} = \frac{5x^2}{4}\ \Rightarrow \ A_1K = \frac{\sqrt5x}{2}.\]
Зная все три стороны в треугольнике \(\triangle A_1KB\), можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти косинус искомого угла:
\(KB^2 = A_1K^2 + A_1B^2 - 2\cdot A_1K\cdot A_1B\cdot\cos \angle KA_1B\) \(\Rightarrow\)
\(\frac{x^2}{4} = \frac{5x^2}{4} + 2x^2 - 2\cdot \frac{\sqrt5x}{2}\cdot \sqrt2x\cdot\cos \angle KA_1B\) \(\Rightarrow\)
\(\cos \angle KA_1B = \frac{3}{\sqrt{10}}\) \(\Rightarrow\) \(\cos^2 \angle KA_1B = 0,9\).
Ответ: 0,9