Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между прямой и плоскостью (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (т.е. это угол \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

 

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), нужно:

 

Шаг 1: из какой-то точки \(A\in a\) провести перпендикуляр \(AO\) на плоскость \(\phi\) (\(O\) – основание перпендикуляра);

Шаг 2: тогда \(BO\) – проекция наклонной \(AB\) на плоскость \(\phi\);

Шаг 3: тогда угол между прямой \(a\) и плоскостью \(\phi\) равен \(\angle ABO\).

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Чему равен угол между \(A_1C_1\) и плоскостью \(A_1D_1C\)?

Добавить задание в избранное

Проведем \(C_1H\perp CD_1\). Так как \(BC\perp (CC_1D_1)\), то \(BC\) перпендикулярна любой прямой из плоскости \((CC_1D_1)\), следовательно, \(BC\perp C_1H\). Таким образом, \(C_1H\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости \(A_1D_1C\), следовательно, \(C_1H\perp (A_1D_1C)\).

Тогда \(A_1H\) – проекция \(A_1C_1\) на плоскость \(A_1D_1C\). Значит, угол между \(A_1C_1\) и плоскостью \(A_1D_1C\) равен углу между \(A_1C_1\) и \(A_1H\).


 

Пусть \(x\) – ребро куба. Тогда \(A_1C_1=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\).
\(C_1H\) – высота, опущенная из вершины равнобедренного \(\triangle CC_1D_1\). Следовательно, \(C_1H\) – медиана. Но к тому же \(\angle CC_1D_1=90^\circ\), а медиана, опущенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, следовательно, \(C_1H=\frac12CD_1\). Так как \(CD_1=A_1C_1=\sqrt2x\), то \(C_1H=\frac{\sqrt2}2x\).

Следовательно, \[\sin\angle C_1A_1H=\dfrac{C_1H}{A_1C_1}=\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad\angle C_1A_1H=30^\circ.\]

Ответ: 30

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(C_2\) – середина стороны \(CC_1\). Чему равен квадрат котангенса угла между \(A_1C_2\) и плоскостью \(A_1D_1C\)?

Добавить задание в избранное


 

Проведем \(C_2H\perp CD_1\). Так как \(BC\perp (CC_1D_1)\), то \(BC\) перпендикулярна любой прямой из плоскости \((CC_1D_1)\), следовательно, \(BC\perp C_2H\). Таким образом, \(C_2H\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости \(A_1D_1C\), следовательно, \(C_2H\perp (A_1D_1C)\).

Тогда \(A_1H\) – проекция \(A_1C_2\) на плоскость \(A_1D_1C\). Значит, угол между \(A_1C_2\) и плоскостью \(A_1D_1C\) равен углу между \(A_1C_2\) и \(A_1H\).

Рассмотрим грань \(CC_1D_1D\). Проведем диагональ \(C_1D\), пусть она пересекается с диагональю \(CD_1\) в точке \(O\). Так как эта грань представляет собой квадрат, то \(C_1O\perp CD_1\). Тогда \(C_2H\parallel C_1O\) и, так как \(C_2\) – середина \(CC_1\), то \(C_2H\) – средняя линия и \(C_2H=\frac12C_1O\).

Если обозначить за \(x\) ребро куба, то \(C_1D=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\), а \(C_2H=\frac{\sqrt2}4x\).
Найдем \(A_1C_2\) из прямоугольного \(\triangle A_1C_1C_2\): \[A_1C_2=\sqrt{A_1C_1^2+C_1C_2^2}=\sqrt{(\sqrt2x)^2+(0,5x)^2}=\dfrac32x.\]

Тогда \[\sin^2\angle C_2A_1H=\left(\dfrac{C_2H}{A_1C_2}\right)^2=\dfrac1{18} \quad\Rightarrow\quad \cos^2\angle C_2A_1H=1-\sin^2\angle C_2A_1H=\dfrac{17}{18}\]

Тогда \[\mathrm{ctg}^2\angle C_2A_1H=\cos^2\angle C_2A_1H:\sin^2\angle C_2A_1H=17.\]

Ответ: 17