Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Чему равен угол между \(A_1C_1\) и плоскостью \(A_1D_1C\)?
Проведем \(C_1H\perp CD_1\). Так как \(BC\perp (CC_1D_1)\), то \(BC\) перпендикулярна любой прямой из плоскости \((CC_1D_1)\), следовательно, \(BC\perp C_1H\). Таким образом, \(C_1H\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости \(A_1D_1C\), следовательно, \(C_1H\perp (A_1D_1C)\).
Тогда \(A_1H\) – проекция \(A_1C_1\) на плоскость \(A_1D_1C\). Значит, угол между \(A_1C_1\) и плоскостью \(A_1D_1C\) равен углу между \(A_1C_1\) и \(A_1H\).
Пусть \(x\) – ребро куба. Тогда \(A_1C_1=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt2x\).
\(C_1H\) – высота, опущенная из вершины равнобедренного \(\triangle
CC_1D_1\). Следовательно, \(C_1H\) – медиана. Но к тому же \(\angle
CC_1D_1=90^\circ\), а медиана, опущенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, следовательно, \(C_1H=\frac12CD_1\). Так как \(CD_1=A_1C_1=\sqrt2x\), то \(C_1H=\frac{\sqrt2}2x\).
Следовательно, \[\sin\angle C_1A_1H=\dfrac{C_1H}{A_1C_1}=\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad\angle C_1A_1H=30^\circ.\]
Ответ: 30