Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение угла между прямыми (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Угол между прямыми – это такой угол \(\alpha\), что \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются.

 

\(\blacktriangleright\) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.

Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.


 

\(\blacktriangleright\) Порядок нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

 

Шаг 1: через одну из двух прямых \(a\) провести плоскость, параллельную второй прямой \(b\) (напомним признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости);

 

Шаг 2: в этой плоскости найти прямую \(c\), параллельную прямой \(b\);

 

Шаг 3: тогда угол между прямыми \(a\) и \(b\) будет равен углу между прямыми \(a\) и \(c\).

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб. На ребрах \(A_1B_1\) и \(C_1D_1\) отмечены точки \(N\) и \(M\) соответственно таким образом, что \(\angle MDC = \angle NBA = 60^{\circ}\). Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки \(NB\) и \(MD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное


 

Плоскости \((AA_1B_1B)\) и \((DD_1C_1C)\) – параллельны, тогда \(NB\) параллельна \(DD_1C_1C\). Следовательно, в плоскости \(DD_1C_1C\) можно провести прямую, параллельную \(NB\); пусть \(CN'\parallel NB\). Кроме того, \(AB \parallel CD\), тогда угол между отрезками \(CD\) и \(CN'\) равен \(\angle NBA\) и составляет \(60^{\circ}\).

Заметим, что в \(\triangle CDO\) два угла равны по \(60^\circ\), следовательно, и третий \(\angle COD=60^\circ\). А по определению \(\angle COD\) и есть угол между прямыми \(BN\) и \(DM\).

Ответ: 60

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан правильный тетраэдр \(SABC\). Найдите \(\sqrt3\cos\alpha\), где \(\alpha\) – угол между ребром \(AS\) и высотой грани \(SBC\), опущенной из вершины \(B\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(BB_1\) – высота грани \(SBC\). Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть \(BB_1\) также является и медианой, значит, \(SB_1=B_1C\). Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если \(SO\) – высота, то \(O\) – точка пересечения медиан треугольника \(ABC\), а значит и высот, так как \(\triangle ABC\) правильный. Следовательно, \(AA_1\) медиана и высота.



Рассмотрим \(\triangle ASA_1\). Проведем \(OM\parallel AS\), следовательно, \(\angle (AS, BB_1)=\angle (OM, BB_1)\).
Заметим также, что \(M\) будет лежать на \(BB_1\).
Действительно, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \(AO:OA_1=2:1\). Следовательно, \(SM:MA_1=2:1\) (по теореме Фалеса, так как \(OM\parallel AS\)). Но \(SA_1\) и \(BB_1\) – медианы в \(\triangle SBC\), следовательно, они пересекаются и точкой пересечения тоже делятся в отношении \(2:1\). А так как \(M\) делит \(SA_1\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(S\), то \(M\) и есть точка пересечения медиан \(SA_1\) и \(BB_1\).
Таким образом, нужно найти \(\cos \angle OMB\).
Пусть \(3a\) – ребро тетраэдра. Тогда \[OM=\dfrac13AS=a.\] По теореме Пифагора \[AA_1=\sqrt{AB^2-BA_1^2}=\dfrac{3\sqrt3}2a.\] Так как грани тетраэдра равны, то \[BM=BO=AO=\dfrac23AA_1=\sqrt3a.\] Следовательно, по теореме косинусов из \(\triangle MBO\): \[\cos \alpha=\dfrac{OM^2+BM^2-BO^2}{2OM\cdot BM}=\dfrac1{2\sqrt3} \quad\Rightarrow\quad \sqrt3\cos\alpha=\dfrac12=0,5.\]

Ответ: 0,5