Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление объемов фигур (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем первого шара равен равен \(54\). Найдите объем второго шара, если его радиус в \(3\) раза меньше радиуса первого шара.

Добавить задание в избранное

Объем шара радиуса \(R\) ищется по формуле \(V=\dfrac43 \pi R^3\). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как \[\dfrac{54}{V_2}=\dfrac{V_1}{V_2}= \dfrac{\frac43 \pi \,R_1^3}{\frac43 \pi \,R_2^3}=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3\] Так как радиус второго шара в 3 раза меньше радиуса первого шара, то \(R_1=3R_2\), следовательно, \[\dfrac{54}{V_2}=\left(\dfrac{3R_2}{R_2}\right)^3=27 \quad\Rightarrow\quad V_2=\dfrac{54}{27}=2.\]

Ответ: 2

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сосуд имеет форму конуса и вмещает в себя 2700 мл жидкости. Определите, сколько мл жидкости налито в сосуд, если высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда.

Добавить задание в избранное

Пусть \(O\) – центр основания большего конуса, \(Q\) – меньшего, а \(S\) – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы \(OA\) и \(QB\), как показано на рисунке:



Тогда \(QB\parallel OA\) и \(\triangle SQB\sim \triangle SOA\). Следовательно, \[\dfrac{QB}{OA}=\dfrac{QS}{OS}=\dfrac13\] Тогда объем налитой жидкости к объему всего сосуда относится как \[\dfrac{V_{\small{\text{ж}}}}{2700}=\dfrac{V_{\small{\text{ж}}}}{V}= \dfrac{\frac13\cdot \pi\cdot QB^2\cdot QS}{\frac13\cdot \pi \cdot OA^2\cdot OS}= \left(\dfrac{QB}{OA}\right)^2\cdot \dfrac{QS}{OS}=\dfrac19\cdot \dfrac13=\dfrac1{27}\]

Следовательно объем жидкости равен \[V_{\small{\text{ж}}}=\dfrac1{27}V=100\]

Ответ: 100

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В сосуд цилиндрической формы, объем которого 2400 см\(^3\), налили жидкость, заполнив сосуд на треть, а затем в жидкость полностью погрузили некоторый предмет, вследствие чего уровень жидкости в сосуде поднялся на четверть. Найдите объем предмета в кубических сантиметрах.

Добавить задание в избранное

Объем цилиндра вычисляется по формуле \(V=\pi R^2H\), где \(R\) – радиус основания, \(H\) – высота. Таким образом, во сколько раз увеличивается/уменьшается высота цилиндра, во столько же раз увеличивается/уменьшается объем цилиндра.
Следовательно, если жидкость заполнила сосуд лишь на треть, то есть высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда, то и объем жидкости в 3 раза меньше объема сосуда, следовательно, объем жидкости равен \(2400:3=800\) см\(^3\).

 

Так как после погружения в жидкость предмета уровень повысился на четверть, то и занимаемый в сосуде объем повысился на четверть.
Закон Архимеда гласит, что объем вытесненной жидкости равен объему погруженного в нее предмета. Следовательно, объем предмета равен четверти объема жидкости, то есть \(800:4=200\) см\(^3\).

Ответ: 200

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус первого шара равен \(6\), а радиус второго шара равен \(2\). Во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара?

Добавить задание в избранное

Объем шара радиуса \(R\) ищется по формуле \(V=\dfrac43 \pi R^3\). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как \[\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{\frac43 \pi \cdot 6^3}{\frac43 \pi \cdot 2^3}= \left(\dfrac62\right)^3=27.\] Следовательно, объем первого шара в 27 раз больше объема второго шара.

Ответ: 27

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем первого цилиндра равен \(16\), причем известно, что его радиус в 7 раз меньше радиуса второго цилиндра, а высота второго цилиндра в 8 раз меньше высоты первого. Найдите объем второго цилиндра.

Добавить задание в избранное

Объем цилиндра с высотой \(H\) и радиусом основания \(R\) ищется по формуле \(V=\pi R^2H\). Тогда объем первого относится к объему второго цилиндра как \[\dfrac{16}{V_2}=\dfrac{\pi\,R_1^2\,H_1}{\pi\,R_2^2\,H_2}= \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{H_1}{H_2}\] Из условие следует, что \(R_1=\frac17R_2\), \(H_2=\frac18H_1\), следовательно, \[\dfrac{16}{V_2}=\left(\dfrac{\frac17R_2}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{H_1}{\frac18H_1}=\dfrac1{49}\cdot 8 \quad\Rightarrow\quad V_2=98.\]

Ответ: 98

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 75 грамм жидкости до половины высоты сосуда. Сколько грамм этой же жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Добавить задание в избранное

Заметим, что из формулы физики \(V=\frac{m}{\rho}\) – объем равен отношению массы к плотности.
Пусть \(O\) – центр основания большего конуса, \(Q\) – меньшего, а \(S\) – их общая вершина. В одной плоскости проведем радиусы \(OA\) и \(QB\), как показано на рисунке:



Тогда \(QB\parallel OA\) и \(\triangle SQB\sim \triangle SOA\). Следовательно, \[\dfrac{OA}{QB}=\dfrac{OS}{QS}=\dfrac21\] так как по условию высота жидкости в два раза меньше высоты сосуда. Тогда для жидкости имеем: \[m_{\small{\text{ж}}}=V_{\small{\text{ж}}}\cdot \rho= \dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2 \cdot \rho\] Следовательно, весь сосуд вмещает этой же жидкости \[m=V\rho=\dfrac13\cdot \pi\cdot OS\cdot OA^2\cdot \rho= \dfrac 13\cdot \pi\cdot 2QS\cdot (2QB)^2\cdot \rho= 8\cdot \left(\dfrac13\cdot \pi\cdot QS\cdot QB^2\cdot \rho\right)=8\cdot 75=600 \ {\small{\text{грамм}}}\] Значит, долить нужно \[600-75=525 \ {\small{\text{грамм}}}\]

Заметим, что в данной задаче использование плотности – чистая формальность.

Ответ: 525

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В правильной четырехугольной пирамиде с высотой \(h\) через точку на боковом ребре, лежащую на расстоянии \(\frac13h\) от плоскости основания, проведена плоскость, параллельная плоскости основания, которая отсекает от пирамиды меньшую пирамиду. Найдите объем полученной меньшей пирамиды, если объем исходной пирамиды равен \(54\).

Добавить задание в избранное

Пусть плоскость провели через точку \(A'\) на ребре \(AS\). Так как плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым \(A'B', \ B'C', \ C'D', \ D'A'\), параллельным соответственно \(AB, \ BC, \ CD, \ DA\), причем \(SA'B'C'D'\) – тоже правильная четырехугольная пирамида.



Рассмотрим плоскость \(ASO\). Проведем \(A'H\parallel SO\) (\(SO\) — высота исходной пирамиды). Тогда \(A'H\perp ABC\). Следовательно, это и есть расстояние, равное \(\frac13SO\), на котором от плоскости основания проведена (розовая) плоскость.
\(\triangle AA'H\sim \triangle ASO\), следовательно, \[\dfrac{SA}{AA'}=\dfrac{SO}{A'H}=3 \quad\Rightarrow\quad SA=3AA' \quad\Rightarrow\quad SA'=\dfrac23SA\] Также отсюда следует, что \(SQ=\frac23SO\).

\(\triangle ASB\sim \triangle A'SB'\), следовательно, \[\dfrac23=\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{A'B'}{AB} \quad\Rightarrow\quad A'B'=\dfrac23AB\] Таким образом, объемы маленькой и большой пирамид относятся как \[\dfrac{V_{{\small{\text{м}}}}}{V_{\small{\text{б}}}}= \dfrac{\frac13\cdot SQ\cdot A'B'^2}{\frac13\cdot SO\cdot AB^2}=\dfrac{SQ}{SO}\cdot \left(\dfrac{A'B'}{AB}\right)^2=\dfrac23\cdot \left(\dfrac23\right)^2=\dfrac8{27}\] Следовательно, объем маленькой пирамиды равен \[V_{{\small{\text{м}}}}=\dfrac8{27}\cdot 54=16.\]

Ответ: 16

1 2