Пусть плоскость провели через точку \(A'\) на ребре \(AS\). Так как плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым \(A'B', \ B'C', \ C'D', \ D'A'\), параллельным соответственно \(AB, \ BC, \ CD, \ DA\), причем \(SA'B'C'D'\) – тоже правильная четырехугольная пирамида.
Рассмотрим плоскость \(ASO\). Проведем \(A'H\parallel SO\) (\(SO\) — высота исходной пирамиды). Тогда \(A'H\perp ABC\). Следовательно, это и есть расстояние, равное \(\frac13SO\), на котором от плоскости основания проведена (розовая) плоскость.
\(\triangle AA'H\sim \triangle ASO\), следовательно, \[\dfrac{SA}{AA'}=\dfrac{SO}{A'H}=3 \quad\Rightarrow\quad
SA=3AA' \quad\Rightarrow\quad SA'=\dfrac23SA\] Также отсюда следует, что \(SQ=\frac23SO\).
\(\triangle ASB\sim \triangle A'SB'\), следовательно, \[\dfrac23=\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{A'B'}{AB} \quad\Rightarrow\quad
A'B'=\dfrac23AB\] Таким образом, объемы маленькой и большой пирамид относятся как \[\dfrac{V_{{\small{\text{м}}}}}{V_{\small{\text{б}}}}=
\dfrac{\frac13\cdot SQ\cdot A'B'^2}{\frac13\cdot SO\cdot
AB^2}=\dfrac{SQ}{SO}\cdot
\left(\dfrac{A'B'}{AB}\right)^2=\dfrac23\cdot
\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac8{27}\] Следовательно, объем маленькой пирамиды равен \[V_{{\small{\text{м}}}}=\dfrac8{27}\cdot 54=16.\]
Ответ: 16