Найдите апофему в правильной шестиугольной пирамиде, если сторона шестиугольника равна \(7\), а тангенс угла наклона бокового ребра к основанию равен \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
\(SABCDEF\) – правильная шестиугольная пирамида, \(SO\) – высота пирамиды, \(ABCDEF\) – правильный шестиугольник. \(\triangle AOF\) – равносторонний треугольник \(\Rightarrow\) \(FO = 7\). Рассмотрим треугольник \(SOF\): \(SO\) – перпендикуляр, \(SF\) – наклонная к плоскости шестиугольника, \(OF\) – проекция наклонной \(SF\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \mathrm{tg}\,\angle SFO = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle SO = FO\cdot\mathrm{tg}\,\angle SFO = \frac{7}{2}\). \(OH\) – высота в равностороннем треугольнике \(\triangle AOF\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle OH = \frac{\sqrt3}{2}\cdot AF = \frac{\sqrt3}{2}\cdot7\). Тогда апофему можно найти из прямоугольного треугольника \(\triangle SOH\) по теореме Пифагора: \(\displaystyle SH^2 = SO^2 + OH^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^{2} + \left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot7\right)^{2} = 7\).
Ответ: 7