Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Правильная и прямоугольная пирамиды» (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Пирамида называется прямоугольной, если одно из ее боковых ребер (\(SR\)) перпендикулярно основанию (оно же будет и высотой).
Грани, образованные этим ребром, будут представлять собой прямоугольные треугольники (\(\triangle SMR, \triangle SPR\)).


 

\(\blacktriangleright\) Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник (все углы равны и все стороны равны) и выполнено одно из эквивалентных условий:

\(\sim\) боковые ребра равны;
\(\sim\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\(\sim\) боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.

 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что у правильных многоугольников центры описанной и вписанной окружностей совпадают.


 

\(\blacktriangleright\) Заметим, что у правильной пирамиды все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Высота этих треугольников, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Объем правильной треугольной пирамиды равен \(24\). Найдите объем пирамиды, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды.



Добавить задание в избранное

Пусть \(SKLM\) – пирамида, боковые ребра которой являются апофемами исходной пирамиды \(SABC\). \(SKLM\) тоже является правильной пирамидой, так как вершины треугольника \(\triangle KLM\) являются серединами сторон треугольника \(\triangle ABC\), а значит стороны треугольника \(\triangle KLM\) являются средними линиями треугольника \(\triangle ABC\) \(\Rightarrow\) стороны треугольника \(\triangle KLM\) относятся к соответствующим сторонам треугольника \(\triangle ABC\) как \(1:2\) \(\Rightarrow\) их площади состоят в отношении \(1:4\). Высота искомой пирамиды совпадает с высотой исходной пирамиды \(\Rightarrow\) их объемы относятся также, как их площади \(\Rightarrow\) объем искомой пирамиды равен \(24:4 = 6\).

Ответ: 6

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите объем правильного тетраэдра, если одна из его апофем равна \(\displaystyle \frac{3\sqrt6}{2}\).



Добавить задание в избранное

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Высота тетраэдра падает в точку пересечения медиан равностороннего треугольника (она же является точкой пересечения биссектрис, высот и т.д.; далее в решении задачи нас будет интересовать точка пересечения медиан), лежащего в основании.


 

Пусть \(SABC\) – правильный тетраэдр, \(SK\) – апофема, лежащая в грани \(ABS\). Она же является медианой, проведенной к стороне \(AB\). Тогда, если ребро тетраэдра обозначить за \(x\), то высота \(SK\) в равностороннем треугольнике выразится как \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cdot x\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cdot x = \frac{3\sqrt6}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow\) \(x = 3\sqrt2\). \(AL\) и \(CK\) – медианы в треугольнике \(\triangle ABC\), \(H\) – точка пересечения \(AL\) и \(CK\), \(SH\) – высота в тетраэдре. Медианы точкой пересечения делятся на отрезки, состоящие в отношении \(2:1\), где больший отрезок лежит между соответствующей вершиной треугольника и точкой пересечения медиан. Тогда рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle AHS\): \(\displaystyle AH = \frac{2}{3}\cdot AL = \frac{2}{3}\cdot SK = \frac{2}{3}\cdot\frac{3\sqrt6}{2} = \sqrt6\), т.к. все равносторонние треугольники равны между собой и следовательно также равны между собой их высоты. \(AS = 3\sqrt2\), тогда найдем \(SH\) по теореме Пифагора: \(AS^2 = SH^2 + AH^2\) \(\Rightarrow\) \(SH = 2\sqrt3\). Наконец, найдем объем правильного тетраэдра: \[V = \frac{1}{3}\cdot SH \cdot\frac{1}{2}\cdot CK\cdot AB = \frac{1}{3}\cdot2\sqrt3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt6}{2}\cdot3\sqrt2 = 9.\]

Ответ: 9