Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед» (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

 

Тогда:

 

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \({\Large{V=abc}}\), где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

 

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

 

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \({\Large{d^{\,2}=a^2+b^2+c^2}}\).

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, площадь полной поверхности которого равна 12. Найдите разность между площадью квадрата со стороной \(AA_1 + A_1D_1 + D_1C_1\) и суммой площадей квадратов со сторонами \(AA_1\), \(A_1D_1\), \(D_1C_1\).

Добавить задание в избранное




 

Обозначим \(AA_1 = a\), \(A_1D_1 = b\), \(D_1C_1 = c\), тогда площадь полной поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \[S_{\text{полн}} = 2ab + 2ac + 2bc.\] Площадь квадрата со стороной \(a + b + c\) равна \((a + b + c)^2\), сумма площадей квадратов со сторонами \(a\), \(b\), \(c\) равна \(a^2 + b^2 + c^2\), тогда искомая величина равна

\[\begin{aligned} (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2) &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc - (a^2 + b^2 + c^2) =\\ &= 2ab + 2ac + 2bc = S_{\text{полн}} = 12. \end{aligned}\]

Ответ: 12

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): \(AB_1 = \sqrt{13}\), \(AD_1 = 5\), \(AC = 2\sqrt5\). Чему равна сумма всех ребер параллелепипеда?



Добавить задание в избранное

Заданные отрезки являются диагоналями соответствующих граней параллелепипеда. Значит, каждый отрезок можно выразить через теорему Пифагора соответствующего прямоугольного треугольника: \(AB_1^2 = AB^2 + AA_1^2\), \(AC^2 = AB^2 + AD^2\), \(AD_1^2 = AD^2 + AA_1^2\). Из этих уравнений можно найти неизвестные стороны параллелепипеда:
\(\displaystyle AB^2 = \frac{AB_1^2 + AC^2 - AD_1^2}{2} = \frac{13 + 20 - 25}{2} = 4\) \(\Rightarrow\) \(AB = 2\);
\(\displaystyle AA_1^2 = \frac{AB_1^2 + AD_1^2 - AC^2}{2} = \frac{13 + 25 - 20}{2} = 9\) \(\Rightarrow\) \(AA_1 = 3\);
\(\displaystyle AD^2 = \frac{AC^2 + AD_1^2 - AB_1^2}{2} = \frac{20 + 25 - 13}{2} = 16\) \(\Rightarrow\) \(AD = 4\).
Мы нашли три различных ребра параллелепипеда. Всего в параллелепипеде \(12\) ребер – по \(4\) каждого вида. Тогда сумма всех ребер будет равна: \[S = 4\cdot2 + 4\cdot3 + 4\cdot4 = 36.\]

Ответ: 36

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед, основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) которого являются квадратами со стороной \(3\sqrt2\). Пусть \(M\) – точка пересечения диагоналей грани \(AA_1D_1D\), \(N\) – точка пересечения диагоналей грани \(DD_1C_1C\). Найдите \(MN\).

Добавить задание в избранное



Так как \(AD=DC\), то грани \(AA_1D_1D\) и \(DD_1C_1C\) равны, следовательно, и их диагонали равны, значит, \(A_1D=C_1D\). Так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, то \(A_1M=MD=DN=NC_1\). Рассмотрим \(\triangle A_1C_1D\): в нем \(MN\) является средней линией, следовательно, она равна половине основания \(A_1C_1\), которое в свою очередь является диагональю квадрата \(A_1B_1C_1D_1\), следовательно, равно \(3\sqrt2\cdot \sqrt2=6\). Следовательно, \(MN=3\).

Ответ: 3

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник \(ABCDEF\). Эту призму вписали в прямоугольный параллелепипед \(MNKPM_1N_1K_1P_1\) так, что все вершины обоих оснований призмы лежат на сторонах соответственно обоих оснований параллелепипеда. Причем \(BC\) и \(EF\) лежат на \(MN\) и \(KP\) соответственно, а точки \(A\) и \(D\) – на сторонах \(MP\) и \(NK\) соответственно. Во сколько раз объем призмы отличается от объема параллелепипеда?

Добавить задание в избранное



Рассмотрим картинку. Так как параллелепипед прямоугольный, то он прямой и в основании лежит прямоугольник. Следовательно, его боковые ребра (например, \(MM_1\)) параллельны боковым ребрам призмы и равны, так как основания призмы вписаны в основания параллелепипеда (то есть лежат в одних и тех же плоскостях). Отсюда следует, что высоты призмы и параллелепипеда одинаковы. Пусть \(h\) – длина их высоты.
Рассмотрим отдельно основание. По свойству правильного шестиугольника \(BF\perp FE\). Так как \(MNKP\) – прямоугольник, то есть \(MP\perp PK\), то \(MP\parallel BF\). Заметим также, что вообще говоря \(MP=BF\), а \(PK=AD\).
Пусть \(a\) – сторона шестиугольника. Его угол равен \(120^\circ\), следовательно, по теореме косинусов: \[BF^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cdot \cos120^\circ=3a^2 \quad\Rightarrow\quad MP=a\sqrt3.\] Заметим также, что \(\angle MAB=30^\circ\), следовательно, в треугольнике \(MAB\): \[\sin30^\circ=\dfrac{MB}{AB} \quad\Rightarrow\quad MB=\dfrac12a.\] Следовательно, \(MN=\frac12a+a+\frac12a=2a\).
Значит, \(MNKP\) – прямоугольник со сторонами \(a\sqrt3\) и \(2a\).

Площадь правильного шестиугольника равна \(\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), следовательно, объем призмы \[V_{prism}=\dfrac{3\sqrt3}2a^2h,\] а объем параллелепипеда \[V_{parallel}=a\sqrt3\cdot 2a\cdot h=2\sqrt3a^2h\] Следовательно, \[\dfrac{V_{prism}}{V_{parallel}}=\dfrac34=0,75.\]

Ответ: 0,75

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, \(AB = a\), \(AA_1 = 2a\), \(AD = 4a\). Точка \(M\) – середина \(AA_1\). Пусть \(P_{\triangle C_1MD}\) – периметр треугольника \(C_1MD\). Найдите \[\dfrac{P_{C_1MD}}{2a(3\sqrt{8} + \sqrt{20} + \sqrt{68})} = \ ?\]

Добавить задание в избранное




 

\[\dfrac{P_{C_1MD}}{2a(3\sqrt{8} + \sqrt{20} + \sqrt{68})} = \dfrac{P_{C_1MD}}{2a(6\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{17})} = \dfrac{P_{C_1MD}}{4a(3\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{17})}.\]

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, то \(A_1C_1\) – проекция \(MC_1\) на \((A_1B_1C_1D_1)\), тогда по теореме Пифагора \[{MC_1}^2 = {MA_1}^2 + {A_1C_1}^2,\] при этом по теореме Пифагора \[{A_1C_1}^2 = {A_1B_1}^2 + {B_1C_1}^2 = a^2 + 16a^2 = 17a^2,\] откуда \[{MC_1}^2 = a^2 + 17a^2 = 18a^2\qquad\Rightarrow\qquad MC_1 = 3a\sqrt{2}.\]

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – прямоугольный параллелепипед, то по теореме Пифагора \[MD^2 = MA^2 + AD^2 = a^2 + 16a^2 = 17a^2\qquad\Rightarrow\qquad MD = a\sqrt{17}.\]

Аналогично по теореме Пифагора \[C_1D^2 = {C_1D_1}^2 + D_1D^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2\qquad\Rightarrow\qquad C_1D = a\sqrt{5}.\] Таким образом, \[P_{C_1MD} = C_1M + MD + C_1D = 3a\sqrt{2} + a\sqrt{17} + a\sqrt{5},\] тогда \[\dfrac{P_{C_1MD}}{4a(3\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{17})} = \dfrac{3a\sqrt{2} + a\sqrt{17} + a\sqrt{5}}{4a(3\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{17})} = \dfrac{a(3\sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{5})}{4a(3\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{17})} = \dfrac{1}{4} = 0,25.\]

Ответ: 0,25

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\): \(AB = \sqrt2\), \(BC = 2\sqrt2\), \(DD_1 = 3\sqrt2\). Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда из точки \(A\) в точку \(C_1\)?



Добавить задание в избранное

Если мы повернем грань \(DD_1C_1C\) вокруг \(DD_1\), так чтобы она оказалась в одной плоскости с гранью \(AA_1D_1D\), а точки \(C\) и \(C_1\) оказались на продолжении отрезков \(AD\) и \(A_1D_1\) за точки \(D\) и \(D_1\) соответственно, то получим следующую фигуру:


 

Очевидно, что кратчайшее расстояние от точки \(A\) до точки \(C_1\) будет равно длине диагонали \(AC_1\). Так как \(AD + DC = CC_1\), то \(AC_1\) является диагональю квадрата \(\Rightarrow\) \(AC_1 = \sqrt2\cdot3\sqrt2 = 6\).

Ответ: 6