Две параллельные плоскости перпендикулярны диаметру шара и пересекают его в точках \(A\) и \(B\). Расстояние от центра шара до этих точек равно трети и двум третям радиуса соответственно. Найдите объем шарового слоя, заключенного между этими плоскостями, деленный на \(\pi\), если радиус шара равен \(6\).
Если расстояние от центра сферы до точки \(A\) равно трети радиуса, то высота соответствующего отсекаемого сегмента равна \(R - \frac{1}{3}R = \frac{2}{3}R\).
Аналогично высота сегмента отсекаемого другой плоскостью будет равна \(R - \frac{2}{3}R = \frac{1}{3}R\).
Чтобы найти объем шарового слоя, необходимо из объема шара вычесть объемы сегментов. Воспользуемся необходимыми формулами и подсчитаем искомый объем: \[\begin{multline*}
V_{\text{слоя}} = V_{\text{шара}} - V_{\text{сегм.}A} - V_{\text{сегм.}B} =\\= \frac{4}{3}\pi R^3 - \pi \left(\frac{2}{3}R\right)^2 \left(R - \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}R\right)\right) - \pi \left(\frac{1}{3}R\right)^2 \left(R - \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}R\right)\right) =\\[4pt]
= \pi R^3 \left(\frac{4}{3} - \frac{4}{9}\left(1 - \frac{2}{9}\right) - \frac{1}{9}\left(1 - \frac{1}{9}\right)\right) = \pi R^3 \left(\frac{4}{3} - \frac{28}{81} - \frac{8}{81}\right) = \pi R^3 \frac{108 - 36}{81} =\\[4pt]
= \pi R^3 \frac{72}{81} = \frac{8}{9} \pi R^3 = \frac{8}{9} \pi 6^3 = 192\pi.
\end{multline*}\] Делим полученный результат на \(\pi\) и получаем окончательный результат.
Ответ: 192