В основание \(ABC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) вписан круг \(L\), а проекция её вершины \(D\) на плоскость основания совпадает с центром вписанной окружности. Известно, что объём пирамиды равен \(4,5\), периметр основания \[P = \dfrac{2\pi}{7},\qquad\qquad\dfrac{h}{r} = \dfrac{21}{8\pi},\] где \(h\) – высота пирамиды, а \(r\) – радиус \(L\). Найдите объём конуса с вершиной \(D\) и основанием \(L\).
Так как площадь треугольника равна полупроизведению периметра на радиус вписанной окружности, то: \[V_{ABCD} = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{P_{ABC}}{2}\cdot r\cdot h,\] но \(\dfrac{h}{r} = \dfrac{21}{8\pi}\), то есть \(h = \dfrac{21}{8\pi}r\), откуда \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{P_{ABC}}{2}\cdot r\cdot h = \dfrac{7r^2\cdot\pi}{7\cdot 8\pi} = 4,5\), тогда \(r^2 = 36\), значит, \(r = 6\).
\(h = \dfrac{21}{8\pi}r = \dfrac{63}{4\pi}\), следовательно, \(V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot\dfrac{63}{4\pi}\cdot 36 = 189\).
Ответ: 189