Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на вписанные и описанные поверхности (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если многогранник \(M_1\) вписан в многогранник \(M_2\), то все вершины многогранника \(M_1\) обязаны лежать на поверхности многогранника \(M_2\).
Пример: куб вписан в правильную четырехугольную пирамиду


 

\(\blacktriangleright\) Если многогранник вписан в сферу, то все вершины многогранника лежат на поверхности сферы.
Пример:


 

Например, для того, чтобы конус был вписан в сферу, нужно, чтобы его вершина и граница основания лежали на поверхности сферы.


 

\(\blacktriangleright\) Если сфера вписана в многогранник, то она касается всех граней многогранника.
Пример:

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основание \(ABC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) вписан круг \(L\), а проекция её вершины \(D\) на плоскость основания совпадает с центром вписанной окружности. Известно, что объём пирамиды равен \(4,5\), периметр основания \[P = \dfrac{2\pi}{7},\qquad\qquad\dfrac{h}{r} = \dfrac{21}{8\pi},\] где \(h\) – высота пирамиды, а \(r\) – радиус \(L\). Найдите объём конуса с вершиной \(D\) и основанием \(L\).

Добавить задание в избранное




 

Так как площадь треугольника равна полупроизведению периметра на радиус вписанной окружности, то: \[V_{ABCD} = \dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{P_{ABC}}{2}\cdot r\cdot h,\] но \(\dfrac{h}{r} = \dfrac{21}{8\pi}\), то есть \(h = \dfrac{21}{8\pi}r\), откуда \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{P_{ABC}}{2}\cdot r\cdot h = \dfrac{7r^2\cdot\pi}{7\cdot 8\pi} = 4,5\), тогда \(r^2 = 36\), значит, \(r = 6\).

 

\(h = \dfrac{21}{8\pi}r = \dfrac{63}{4\pi}\), следовательно, \(V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2h = \dfrac{1}{3}\pi\cdot\dfrac{63}{4\pi}\cdot 36 = 189\).

Ответ: 189

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В конус вписана пирамида \(SABC\). В треугольнике \(\triangle ABC\): \(\angle ACB = 60^\circ\), \(AB = 2\sqrt3\). Высота конуса \(SH\) равна \(9\). Найдите объем конуса, деленный на \(\pi\).



Добавить задание в избранное

В основании конуса лежит окружность, которая описана вокруг треугольника \(\triangle ABC\). По следствию из теоремы синусов: \(\displaystyle \frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R\), где \(R\) – радиус описанной окружности, \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{2\sqrt3}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}} = 4 = 2R\) \(\Rightarrow\) \(R = 2\). Зная радиус окружности, лежащей в основании конуса, можем найти его объем: \(\displaystyle V_{\text{кон.}} = \frac{1}{3}SH \pi R^2 = \frac{1}{3}\cdot9\cdot\pi\cdot4 = 12\pi\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{V_{\text{кон.}}}{\pi} = 12\).

Ответ: 12