Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Если функция задана как произведение двух других функций, то \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = (-5x + 1)\cdot e^x\cdot e^{x}\cdot e^{0,6} - 2\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = -5\cdot e^x\cdot e^{x}\cdot e^{0,6} + (-5x + 1)\cdot e^x\cdot e^{x}\cdot e^{0,6} + (-5x + 1)\cdot e^x\cdot e^{x}\cdot e^{0,6} = (-10x - 3)\cdot e^{2x + 0,6}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (-10x - 3)\cdot e^{2x + 0,6} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -0,3\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -0,3\) – точка максимума функции \(y\).
\(y(-0,3) = 2,5\cdot e^0 - 2 = 0,5\),

Итого: наибольшее значение функции \(y\) равно \(0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{-10}(\ln x - 11)x\) на \([e^9; e^{12}]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x > 0\). Решим на ОДЗ:

Заметим, что \(e^{-10}\) - просто число, тогда

1) \(y' = e^{-10}((\ln x - 11)'\cdot x + (\ln x - 11)\cdot x') = e^{-10}(1 + \ln x - 11) = e^{-10}(\ln x - 10)\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{-10}(\ln x - 10) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\ln x - 10) = 0\] (так как \(e^{-10} > 0\) и на это число можно поделить), откуда находим корень \(x = e^{10}\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([e^9; e^{12}]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([e^9; e^{12}]\):



Таким образом, \(x = e^{10}\) - точка минимума функции \(y\) на \([e^9; e^{12}]\) и наименьшее значение функция достигает в ней.

\(y(e^{10}) = e^{-10}(10 - 11)e^{10} = -1\).

Итого: \(-1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([e^9; e^{12}]\).

Ответ: -1