Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x - \dfrac{9}{8x + 6} + 5\ln(-4x - 3)\) на промежутке \([-2; -0,75)\).
ОДЗ: \(4x + 3 < 0\).
1) \[y' = 2 + \dfrac{72}{(8x + 6)^2} + \dfrac{20}{4x + 3} = \dfrac{2(4x + 3)^2 + 18 + 20(4x + 3)}{(4x + 3)^2} = 32\cdot\dfrac{x^2 + 4x + 3}{(4x + 3)^2}\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[32\cdot\dfrac{x^2 + 4x + 3}{(4x + 3)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -1\\ x = -3 \end{gathered} \right.\] Производная не существует при \(x \geqslant -0,75\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-2; -0,75)\):
4) Эскиз графика на промежутке \([-2; -0,75)\):
Таким образом, наименьшего значения функция достигает в \(x = -1\).
\[y(-1) = -2 - \dfrac{9}{-8 + 6} + 5\ln(4 - 3) = 2,5\,.\] Итого: \(2,5\) – наименьшее значение функции \(y\) на промежутке \([-2; -0,75)\).
Ответ: 2,5