Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Все формулы:

 

1. Умножение функции на число: \[{\Large{(c\cdot f)'=c\cdot f'}}\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[{\Large{(f\pm g)'=f'\pm g'}}\]

 

3. Произведение двух функций: \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]

 

4. Частное двух функций: \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]

 

5. Сложная функция: \[{\Large{f'(t(x))=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = (0,5x^2 - 6,5x + 13,25)e^{2x + 3}\) на отрезке \([-1,5; 2,5]\).

Добавить задание в избранное

1) \[y' = (x - 6,5)e^{2x + 3} + 2e^{2x + 3}(0,5x^2 - 6,5x + 13,25) = e^{2x + 3}(x^2 - 12x + 20).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[e^{2x + 3}(x^2 - 12x + 20) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 12x + 20 = 0\] (так как при любом \(x\) выражение \(e^{2x + 3} > 0\)), откуда находим корни \(x_1 = 2,\ x_2 = 10\). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-1,5; 2,5]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([-1,5; 2,5]\):



Таким образом, наименьшее значение на отрезке \([-1,5; 2,5]\) функция \(y\) достигает или в \(x = -1,5\), или в \(x = 2,5\). Сравним эти значения:

\(y(-1,5) = (0,5\cdot 2,25 + 6,5 \cdot 1,5 + 13,25)e^{-3 + 3} = 24,125 \cdot e^0 = 24,125\),

\(y(2,5) = (0,5\cdot 6,25 - 6,5 \cdot 2,5 + 13,25)e^{5 + 3} = 0,125 \cdot e^8\).

Остаётся сравнить данные значения: так как \(e > 2\), то \(0,125\cdot e^8 > 0,125\cdot 2^8 = 32 > 24,125\). Итого: \(24,125\) – наименьшее значение функции \(y\) на отрезке \([-1,5; 2,5]\).

Ответ: 24,125

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = 0,5x + 0,5\ln(2x^2 + 1) + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot\mathrm{arctg}\, (\sqrt{2}x)\) на промежутке \([-2; 0]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 0,5 + 0,5\cdot\dfrac{4x}{2x^2 + 1} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}\cdot\dfrac{1}{1 + (\sqrt{2}x)^2}\cdot\sqrt{2} = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 + 1}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 + 1} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-2; 0]\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \([-2; 0]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([-2; 0]\) значения функция достигает в \(x = 0\).

\[y(0) = 0 + 0 + 0 = 0\,.\] Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) на промежутке \([-2; 0]\).

Ответ: 0