Изобразим график уравнения на координатной плоскости. Оно равносильно \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned}
&y=x^2+3x-10\\
&y=-x^2-3x+10 \end{aligned} \end{gathered} \right.\] при \(x\in
[-5;2]\). Графиками обоих уравнений являются параболы, пересекающие ось абсцисс в точках \((-5;0)\) и \((2;0)\).
Таким образом, необходимо из точки \(A\) провести две касательные к графику и найти тангенс угла между этими касательными, во внутренней области которого находится график.
Пусть \(y_{k_1}\) – касательная к \(y_1\) в точке \(B_1\), а \(y_{k_2}\) – касательная к \(y_2\) в точке \(B_2\). Тогда если через точку \(A\) провести прямую параллельно оси абсцисс, то \(\alpha_1\) – угол наклона касательной \(y_{k_1}\), а \(\alpha_2\) – угол наклона касательной \(y_{k_2}\) к положительному направлению оси абсцисс. Тогда угол между касательными, во внутренней области которого находится график, будет равен \[\alpha_1+(180^\circ-\alpha_2)\] Найдем уравнения касательных.
1) \(y_{k_1}\).
\(y'_1=2x+3\), следовательно, если \(x_1\) – точка касания, то \[y_{k_1}=x_1^2+3x_1-10+(2x_1+3)(x-x_1)\] Так как касательная проходит через точку \(A(5,25;-5,75)\), то получаем уравнение: \[-5,75=x_1^2+3x_1-10+(2x_1+3)(5,25-x_1) \quad\Rightarrow\quad
2x_1^2-21x_1-23=0 \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}
\begin{aligned}
&x_1=-1\\
&x_1=11,5 \end{aligned} \end{gathered}\right.\] Так как график \(y_1\) определен только при \(x\in [-5;2]\), то подходит \(x_1=-1\). Следовательно, уравнение касательной имеет вид: \[y_{k_1}=x-11\] 2) \(y_{k_2}\). Аналогично находим, что \[y_{k_2}=-3x+10.\]
Таким образом, это значит, что \[\begin{aligned} &
\mathrm{tg}\,\alpha_1=1\\
&\mathrm{tg}\,\alpha_2=-3 \ \Rightarrow \
\mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha_2)=3\end{aligned}\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,(\alpha_1+(180^\circ-\alpha_2))=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha_1
+\mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha_2)}{1-\mathrm{tg}\,\alpha_1\cdot
\mathrm{tg}\,(180^\circ-\alpha_2)}=\dfrac{1+3}{1-1\cdot 3}=-2.\]
Ответ: -2
