Найдите точку локального минимума функции \(y = x^{1,25} - 5x + 12\).
ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:
1) \(y' = 1,25x^{0,25} - 5\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\[1,25x^{0,25} - 5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,25x^{0,25} = 5.\] Возводя последнее уравнение в 4 степень, находим \(x = 256\). Проверкой убеждаемся, что \(x = 256\) – корень уравнения \(1,25x^{0,25} - 5 = 0\).
Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 256\) – точка локального минимума функции \(y\).
Ответ: 256
