Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции \(y = x^{1,25} - 5x + 12\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = 1,25x^{0,25} - 5\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[1,25x^{0,25} - 5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,25x^{0,25} = 5.\] Возводя последнее уравнение в 4 степень, находим \(x = 256\). Проверкой убеждаемся, что \(x = 256\) – корень уравнения \(1,25x^{0,25} - 5 = 0\).

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 256\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 256

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку минимума функции

\(y = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 1\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 = 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 4(x + 1)^3\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[4(x + 1)^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)^3 = 0,\] откуда находим \(x = -1\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\).

Ответ: -1