Найдите точку минимума функции \(y = \dfrac{2x^3 + 1}{\sqrt[3]{4}x^2}\) на промежутке \((0; 3]\).
ОДЗ: \(x\neq 0\).
1) \[y' = \dfrac{6\sqrt[3]{4}x^4 - 2\sqrt[3]{4}x(2x^3 + 1)}{\sqrt[3]{16}x^4} = \dfrac{2\sqrt[3]{4}(x^3 - 1)}{\sqrt[3]{16}x^3}\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{2\sqrt[3]{4}(x^3 - 1)}{\sqrt[3]{16}x^3} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная не существует при \(x = 0\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \((0; 3]\):
4) Эскиз графика на промежутке \((0; 3]\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\) на промежутке \((0; 3]\).
Ответ: 1