Найдите точку локального максимума функции
\(y = \pi x\cdot e^{-x} + \pi^{2017}\).
1) \(y' = \pi e^{-x} - \pi x\cdot e^{-x} = \pi (1 - x)e^{-x}\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\pi (1 - x)e^{-x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\] (так как \(e^{-x} > 0\) при любом \(x\)). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка локального максимума функции \(y\).
Ответ: 1