Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у сложных функций (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Сложная функция (композиция двух функций) — это функция \(f=f(x)\), представимая в виде \(f=f(t(x))\), где \(t=t(x)\) – функция, являющаяся “новой переменной” для функции \(f\).

 

То есть в такой функции можно ввести новую переменную \(t\)  так, что функция полностью будет зависеть от этой новой переменной.

 

\(\blacktriangleright\) Производная такой функции ищется по правилу: \[{\Large{f'(x)=f'(t)\cdot t'(x)}}\]

Примеры:

 

\(1)\) Функция \(f(x)=\cos {(x^2+1)}\). Если сделать замену \(t(x)=x^2+1\), то функция примет вид \(f(t)=\cos t\).
Найдем \(f'(t)=(\cos t)'=-\sin t=(\text{переход к переменной }x)=-\sin {(x^2+1)}\)
Найдем \(t'(x)=(x^2+1)'=2x\)
Значит, \(f'(x)=-2x\cdot \sin{(x^2+1)}\)

 

\(2)\) Функция \(f(x)=x^3 +x^2\). Для этой функции не существует никакой замены, кроме тождественной (\(t(x)=x\)). Значит она – не сложная.
Ее производную можно найти обычным способом, т.к. она элементарная:
\(f'(x)=3x^2+2x\)

 

\(3)\) Функция \(f(x)=\sin x^2 + x\). Для этой функции не существует никакой замены, кроме тождественной (\(t(x)=x\)).
Но обычными способами вычислить ее производную не удастся. Заметим, что эта функция представлена в виде суммы двух, причем одна из них сложная (\(g(x)=\sin x^2\)), а другая – элементарная (\(h(x)=x\)).
Т.к. мы знаем, что \(f'=g'+h'\), то найдем в отдельности производные функций \(g\) и \(h\).

 

Тогда \(f'(x)=2x\cdot \cos x^2 + 1\)

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

\(y = 17^{16x - \frac{1}{3}x^3 + 12}\).

Добавить задание в избранное

1) \[y' = \ln 17 \cdot (16 - x^2)17^{16x - \frac{1}{3}x^3 + 12}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \ln 17 \cdot (16 - x^2)17^{16x - \frac{1}{3}x^3 + 12} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 16 - x^2 = 0\] (так как \(17^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим \(x = \pm 4\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 4\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 4

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции \(y = \sin(\cos \pi x)\), лежащую на отрезке \([-2,5; -1,8]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = \cos(\cos\pi x)\cdot \pi\cdot (-\sin \pi x)\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\cos(\cos\pi x)\cdot \pi\cdot (-\sin \pi x) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \pi x = \pi n, \quad n\in\mathbb{Z}\\ \cos \pi x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \end{gathered} \right.\] Второе уравнение последней совокупности не имеет решений ни при каких \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, производная равна \(0\) только при \(x = n, \ n\in\mathbb{Z}\). Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) (здесь бесконечно много промежутков, знаки производной в которых чередуются):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на \([-2,5; -1,8]\):


 

3) Эскиз графика \(y\) на \([-2,5; -1,8]\):


 

Таким образом, \(x = -2\) – точка локального максимума функции \(y\) на отрезке \([-2,5; -1,8]\).

Ответ: -2

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции \(y = \cos(\arcsin(x))\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\in [-1; 1]\).

1) \[y' = -\sin(\arcsin x)\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\] – на ОДЗ.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная не существует при \(x \in (-\infty; -1]\cup [1; +\infty)\), но эти точки не являются внутренними для области определения.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 0