Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у смешанных функций (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Смешанная функция — функция, для поиска производной которой нужно комбинировать знания из предыдущих подтем.

 

\(\blacktriangleright\) Все формулы:

 

1. Умножение функции на число: \[{\Large{(c\cdot f)'=c\cdot f'}}\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[{\Large{(f\pm g)'=f'\pm g'}}\]

 

3. Произведение двух функций: \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]

 

4. Частное двух функций: \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]

 

5. Сложная функция: \[{\Large{f'(t(x))=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите точку максимума функции

\(y = -e^{x^2} - \dfrac{1}{e^{x^2}}\).

Добавить задание в избранное

1) \[y' = (-e^{x^2} - e^{-x^2}) = -2xe^{x^2} + 2xe^{-x^2} = -2xe^{-x^2}(e^{2x^2} - 1).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2xe^{-x^2}(e^{2x^2} - 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad -x(e^{x^2} + 1)(e^{x^2} - 1) = 0\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\)), откуда находим \(x = 0\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на ОДЗ:



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 0\) – точка максимума функции \(y\).

Ответ: 0