Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на квадрат (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства квадрата:

 

\(\blacktriangleright\) Те же, что и у ромба и прямоугольника:

 

\(\sim\) Все стороны равны;

 

\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\sim\) Все углы прямые;

 

\(\sim\) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов квадрата;

 

\(\sim\) Диагонали равны.


 

Площадь квадрата

1. Т.к. квадрат является ромбом, то его площадь также равна половине произведения диагоналей.

 

2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.


 

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ


 

Площадь \(\triangle ABD\) равна \(2\). Найдите периметр квадрата \(ABCD\).

Добавить задание в избранное

\(S_{ABCD} = 2\cdot S_{\triangle ABD} = 2\cdot2 = 4\). Пусть \(x\) – сторона квадрата, тогда \(x^2 = 4\) \(\Rightarrow\) \(x = 2\) \(\Rightarrow\) \(P_{ABCD} = 4\cdot x = 4\cdot 2 = 8\).

Ответ: 8

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата, равна \(1\). Найдите площадь квадрата.

Добавить задание в избранное


 

Четырехугольник, вершины которого — середины сторон квадрата, тоже является квадратом, диагонали которого равны сторонам исходного квадрата. Действительно, т.к. \(\triangle A'BB'=\triangle B'CC'=\triangle C'DD'=\triangle D'AA'\), то \(A'B'=B'C'=C'D'=D'A'\), значит, \(A'B'C'D'\) — ромб. Но \(\angle D'A'A=\angle B'A'B=45^\circ\), следовательно, \(\angle D'A'B'=180^\circ-2\cdot 45^\circ=90^\circ\), значит, \(A'B'C'D'\) – квадрат.

 

\(S_{A'B'C'D'}=\frac12 A'C'^2=1 \Rightarrow A'C'^2=2\). Т.к. \(A'C'=AD\), следовательно, \(S_{ABCD}=AD^2=2\).

Ответ: 2

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон квадрата равен \(4\sqrt2\). Найдите периметр квадрата.

Добавить задание в избранное


 

Четырехугольник, вершины которого – середины сторон квадрата, тоже является квадратом. Тогда сторона внутреннего квадрата равна \(4\sqrt2 : 4 = \sqrt2\) и является средней линией в треугольнике, который отсекается соответствующей диагональю. Значит диагональ внешнего квадрата равна \(2\sqrt2\) \(\Rightarrow\) сторона внешнего квадрата равна \(2\) \(\Rightarrow\) периметр равен \(2\cdot4 = 8\).

Ответ: 8

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Периметр \(\triangle ABD\) равен \(16 + 8\sqrt2\). Найдите периметр квадрата \(ABCD\).

Добавить задание в избранное


 

Если сторону квадрата обозначить за \(x\), то диагональ квадрата будет равна \(\sqrt 2 x\), тогда \(P_{\triangle ABD} = x + x + \sqrt 2 x = x\cdot(2+\sqrt2) = 16 + 8\sqrt2 = 8\cdot(2 + \sqrt2)\) \(\Rightarrow\) \(x = 8\) \(\Rightarrow\) \(P_{ABCD} = 4\cdot x = 4\cdot8 = 32\).

Ответ: 32