Геометрия на плоскости (планиметрия) (страница 4)

Так как \(AD\) – высота, то \(\angle CDA = 90^{\circ}\), тогда \(\angle CAD + \angle C = 90^{\circ}\). \(\angle CAD = 19^{\circ}\), тогда \(\angle C = 71^{\circ}\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle CAB = \angle C = 71^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle B = 180^{\circ} - \angle C - \angle CAB = 180^{\circ} - 71^{\circ} - 71^{\circ} = 38^{\circ}\).

Ответ: 38

Так как \(BD\) – высота, то \(\angle ADB = 90^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}\). \(\angle ABD = 25^{\circ}\), тогда \(\angle A = 65^{\circ}\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle CBA = \angle A = 65^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle CBA = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 65^{\circ} = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

По условию \(\angle MAP=14^\circ\). Так как \(AP\) – биссектриса и \(\angle A=90^\circ\), то \(\angle CAP=45^\circ\), следовательно, \(\angle CAM=45^\circ-14^\circ=31^\circ\).
Тогда \(\angle C=90^\circ-31^\circ=59^\circ\). Следовательно, \(\angle B=\angle CAM=31^\circ\) – наименьший угол треугольника \(ABC\).

Ответ: 31

В треугольнике \(ABC\) \(\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).
Заметим, что \(\angle AOB=180^\circ-(\angle OAB+\angle OBA)=180^\circ-0,5(\angle A+\angle B)=180^\circ-0,5\cdot 122^\circ=119^\circ\).

Ответ: 119

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \(92^{\circ}\) – один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна \(92^{\circ} + 92^{\circ} = 184^{\circ} > 180^{\circ}\) – противоречие, значит, \(92^{\circ}\) – угол при вершине.

Сумма углов при основании равна \(180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ}\). Так как углы при основании равны, то оба они по \(88^{\circ} : 2 = 44^{\circ}\).

Ответ: 44

Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD=\angle ABD= 62^\circ\). \(\angle HBO=\angle CBD=62^\circ\) как вертикальные.
\(\angle OHB=\angle AHB=90^\circ\).
Следовательно, \(\angle AOB=\angle HOB=90^\circ-\angle HBO=90^\circ-62^\circ=28^\circ\) (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\)).

Ответ: 28

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \(124^{\circ}\) – один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна \(124^{\circ} + 124^{\circ} = 248^{\circ} > 180^{\circ}\) – противоречие, значит, \(124^{\circ}\) – угол при вершине.

Сумма углов при основании равна \(180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}\). Так как углы при основании равны, то оба они по \(56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}\).

Ответ: 28