Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 29
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В тупоугольном треугольнике \(ABC\) один из углов равен \(47^\circ\), \(AB = 2BC\). Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как треугольник \(ABC\) – тупоугольный, то градусная мера одного из его углов больше \(90^\circ\).


 

Так как сумма углов треугольника \(180^\circ\), то сумма острых углов треугольника \(ABC\) меньше \(90^\circ\), следовательно, второй острый угол в \(ABC\) меньше \(90^\circ - 47^\circ = 43^\circ\), то есть он наименьший.

Таким образом, угол в \(47^\circ\) не является ни наибольшим, ни наименьшим. В итоге сумма меньшего и большего углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ - 47^\circ = 133^\circ\).

 

Замечание

Наличие в задаче условия \(AB = 2BC\) не влияет ни на ход решения, ни на ответ.

Ответ: 133

Задание 30
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) – биссектриса, \(AC = AD = BD\). Найдите наименьший угол в треугольнике \(ABC\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(AC = AD = BD\), то \(\angle ADC = \angle C\), \(\angle B = \angle BAD\).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle ADC = \angle B + \angle BAD = 2\cdot \angle B\), тогда \(\angle C = 2\cdot \angle B > \angle B\). \(\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = \angle B + \angle DAC > \angle B\). Таким образом, \(\angle B\) – наименьший.

Так как \(AD\) – биссектриса, то \(\angle BAC = 2\cdot \angle BAD = 2\cdot \angle B\).

Итого: \(\angle C = 2\cdot \angle B\), \(\angle BAC = 2\cdot \angle B\), значит, \(\angle BAC + \angle B + \angle C = 5\cdot \angle B\). Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(5\cdot \angle B = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle B = 36^{\circ}\).

Ответ: 36

Задание 31
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 32^{\circ}\), \(\angle B = 70^{\circ}\). На продолжении стороны \(AC\) за точку \(C\) отложен отрезок \(CK = BC\). Найдите \(\angle K\) треугольника \(BCK\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(CK = BC\), то \(\angle CBK = \angle K\).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle BCK = \angle A + \angle ABC = 32^{\circ} + 70^{\circ} = 102^{\circ}\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BCK + \angle CBK + \angle K = 180^{\circ}\), но \(\angle CBK = \angle K\), тогда \(102^{\circ} + 2\cdot \angle K = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle K = 39^{\circ}\).

Ответ: 39

Задание 32
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 52^{\circ}\), \(\angle C = 71^{\circ}\). На продолжении стороны \(BC\) за точку \(B\) отложен отрезок \(BD = AB\). Найдите \(\angle D\) треугольника \(ABD\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(AB = BD\), то \(\angle BAD = \angle D\).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle ABD = \angle C + \angle BAC = 71^{\circ} + 52^{\circ} = 123^{\circ}\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle D + \angle BAD + \angle ABD = 180^{\circ}\), но \(\angle BAD = \angle D\), тогда \(2\cdot \angle D + \angle ABD = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle D = 28,5^{\circ}\).

Ответ: 28,5

Задание 33
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 40^{\circ}\), \(\angle B = 110^{\circ}\), \(AM\) – биссектриса, \(N\) – такая точка на \(AC\), что \(AB = AN\). Найдите \(\angle CMN\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}\). Так как \(AM\) – биссектриса, то \(\angle MAN =\cdot \angle BAM = 15^{\circ}\).

Треугольники \(ABM\) и \(ANM\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle BMA = \angle AMN\). \(\angle BMA = 180^{\circ} - \angle BAM - \angle B = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 110^{\circ} = 55^{\circ}\), тогда \(\angle BMN = 2\cdot \angle BMA = 110^{\circ}\). Тогда \(\angle CMN = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\).

Ответ: 70

Задание 34
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 51^{\circ}\), \(\angle C = 77^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(P\) – такая точка на \(AB\), что \(PB = BC\). Найдите \(\angle ADP\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 51^{\circ} - 77^{\circ} = 52^{\circ}\). Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD = 0,5\cdot \angle ABC = 26^{\circ}\).

Треугольники \(PBD\) и \(CBD\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle PDB = \angle CDB\). \(\angle CDB = 180^{\circ} - \angle CBD - \angle C = 180^{\circ} - 26^{\circ} - 77^{\circ} = 77^{\circ}\), тогда \(\angle PDC = 2\cdot \angle CDB = 154^{\circ}\). Тогда \(\angle ADP = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ}\).

Ответ: 26

Задание 35
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренном треугольнике один из углов равен \(100^\circ\). Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), следовательно, в треугольнике не может быть двух углов по \(100^\circ\), тогда угол при вершине равен \(100^\circ\), а углы при основании равны по \((180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ\).



Внешние углы этого треугольника равны \[180^\circ - 100^\circ = 80^\circ,\qquad 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ,\qquad 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\,.\] Больший из них равен \(140^\circ\).

Ответ: 140

1 .... 4 5 6