Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 36
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 22^{\circ}\), \(\angle C = 40^{\circ}\), \(BE\) – биссектриса внешнего угла при вершине \(B\), при этом точка \(E\) лежит на продолжении стороны \(AC\). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) выбрана точка \(D\), таким образом, что \(BC = BD\). Найдите \(\angle CED\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle CBD = \angle A + \angle ACB = 22^{\circ} + 40^{\circ} = 62^{\circ}\).

Так как \(BE\) – биссектриса \(\angle CBD\), то \(\angle CBE = 0,5 \cdot \angle CBD = 31^{\circ}\).

\(\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 140^{\circ}\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BEC = 180^{\circ} - \angle CBE - \angle BCE = 9^{\circ}\).

Треугольники \(BCE\) и \(BDE\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle CED = 2\cdot \angle BEC = 18^{\circ}\).

Ответ: 18

Задание 37
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на стороне \(AC\) (но не совпадает с точкой \(A\) или точкой \(C\)), причём \(CM = MB\). Кроме того, \(CB = MB\). Найдите сумму меньшего и большего углов треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как \(CM = MB = BC\), то треугольник \(MBC\) – равносторонний, тогда \(\angle MCB = 60^\circ\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то угол, равный \(60^\circ\), не может быть большим и не может быть меньшим углом треугольника. Треугольник \(ABC\) не равносторонний (так как \(A\) не совпадает с \(M\)), причём \(\angle ACB = 60^\circ\), тогда один из углов \(A\) и \(B\) больше \(60^\circ\), а другой меньше \(60^\circ\). Таким образом, \[\angle A + \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] – искомая сумма углов.

Ответ: 120

Задание 38
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) на стороне \(BC\) отмечена точка \(D\), на отрезке \(AD\) выбрана точка \(E\) так, что \(\angle BAD = \angle ECD = \angle EAC + \angle ECA\). Внешний угол при вершине \(B\) равен \(138^{\circ}\). Найдите \(\angle BAD\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол в треугольнике равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
\(\angle ADB\) – внешний для треугольника \(ADC\), тогда \(\angle ADB = \angle EAC + \angle ECA + \angle ECD = 2\cdot \angle ECD = 2\cdot \angle BAD\).
Внешний угол при вершине \(B\) равен \(\angle BAD + \angle ADB = 3\cdot \angle BAD = 138^{\circ}\), тогда \(\angle BAD = 138^{\circ} : 3 = 46^{\circ}\).

Ответ: 46

Задание 39
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) при вершинах \(A, B\) и \(C\) построено по одному внешнему углу. Найдите сумму этих внешних углов. Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине \(A\) равен \(\angle B + \angle C\) в треугольнике \(ABC\).

Аналогично внешний угол при вершине \(B\) равен \(\angle A + \angle C\) в треугольнике \(ABC\), внешний угол при вершине \(C\) равен \(\angle A + \angle B\) в треугольнике \(ABC\).

Таким образом, сумма внешних углов равна \(\angle B + \angle C + \angle A + \angle C + \angle A + \angle B = 2(\angle A + \angle B + \angle C)\) в треугольнике \(ABC\), но эта сумма есть удвоенная сумма углов треугольника.

Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то сумма внешних углов равна \(180^{\circ} \cdot 2 = 360^{\circ}\).

Ответ: 360

Задание 40
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен \(14^\circ\). Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

По условию \(\angle MAP=14^\circ\). Так как \(AP\) – биссектриса и \(\angle A=90^\circ\), то \(\angle CAP=45^\circ\), следовательно, \(\angle CAM=45^\circ-14^\circ=31^\circ\).
Тогда \(\angle C=90^\circ-31^\circ=59^\circ\). Следовательно, \(\angle B=\angle CAM=31^\circ\) – наименьший угол треугольника \(ABC\).

Ответ: 31

Задание 41
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(58^\circ\), биссектрисы \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\). Найдите угол \(AOB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

В треугольнике \(ABC\) \(\angle A+\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).
Заметим, что \(\angle AOB=180^\circ-(\angle OAB+\angle OBA)=180^\circ-0,5(\angle A+\angle B)=180^\circ-0,5\cdot 122^\circ=119^\circ\).

Ответ: 119