Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства параллелограмма:

 

\(\blacktriangleright\) Противоположные стороны попарно равны;

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\blacktriangleright\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\).


 

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

 

\(\blacktriangleright\) если противоположные стороны попарно равны;

 

\(\blacktriangleright\) если две стороны равны и параллельны;

 

\(\blacktriangleright\) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\blacktriangleright\) если противоположные углы попарно равны.

 

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.


 

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\) сумма длин диагоналей равна 10, а меньшая сторона параллелограмма \(ABCD\) равна 2. Найдите наименьший из периметров треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\).



Добавить задание в избранное

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 9.

Добавить задание в избранное



Т.к. треугольник равнобедренный и прямоугольный, то его углы при гипотенузе равны по \(45^\circ\). Квадрат образует с гипотенузой углы \(\angle GFC = 90^\circ\) и \(\angle DEF = 90^\circ\), а значит, что треугольники \(DBE\) и \(GFC\) – равнобедренные прямоугольные, т.к. \(\angle BDE = 45^\circ, \angle FGC = 45^\circ\). Пусть сторона квадрата равна \(a\), тогда длину гипотенузы можно выразить через сторону квадрата: \[BC = 3\cdot a = 9\Rightarrow a = 3.\]

Ответ: 3

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников \(BOC\) и \(COD\) равна 2. Найдите большую сторону параллелограмма.

Добавить задание в избранное



По свойству параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. \(BO = DO, AO = CO.\) \[P_{BOC} = BC + BO + CO, P_{COD} = CD + DO + CO \Rightarrow P_{BOC} - P_{COD} = BC - CD = 2.\] Пусть \(BC = x\), тогда \(CD = x - 2\), подставим эти выражения в формулу периметра: \[BC + AD + CD + AB = x+x+(x-2)+(x-2) = 12\Rightarrow x = 4.\]

Ответ: 4

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.

Добавить задание в избранное



Пусть \(AB = a, BC = b\), в прямоугольнике все углы прямые, тогда по теореме Пифагора: \[\sqrt{a^2 + b^2} = 8.\] Найдем сторону \(EF\): т.к. \(E\) и \(F\) – середины сторон \(AB\) и \(BC\), то \(BF = \dfrac{b}2, EB = \dfrac{a}2\), тогда \(EF = \sqrt{\dfrac{a^2}4 + \dfrac{b^2}4}\), аналогично находятся остальные стороны, которые равны. Найдем периметр: \[P_{EFGK} = 4\cdot \sqrt{\dfrac{a^2}4 + \dfrac{b^2}4} = 2\cdot\sqrt{a^2 + b^2} = 2\cdot AC = 16.\]

Ответ: 16

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Большая сторона параллелограмма равна \(24\). Через точку \(O\), расположенную на диагонали, проведены две прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Первая прямая делит меньшую сторону на отрезки длиной \(6\) и \(10\). Найдите модуль разности отрезков, на которые вторая прямая делит большую сторону параллелограмма.

Добавить задание в избранное


 

Отношение отрезков, составляющих меньшую сторону, будет совпадать с отношением отрезков, составляющих большую сторону, и составляет \(3:5\).
Действительно, по теореме Фалеса (т.к. \(MO\parallel BC\)) \(AM:MB=AO:OC\). Также по теореме Фалеса (т.к. \(OK\parallel CD\)) \(AO:OC=AK:KD\). Отсюда следует, что \(AM:MB=AK:KD\).

 

Можно принять \(AK=3x, KD=5x\). Тогда имеем \(3\cdot x + 5\cdot x = 24\) откуда \(x = 3\), а разность отрезков составляет \(5\cdot x - 3\cdot x = 2\cdot x = 6\).

Ответ: 6

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\). Высота, опущенная на первую сторону, равна \(10\). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Добавить задание в избранное

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\), с другой стороны, \(S=15\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь параллелограмма равна \(40\), две его стороны равны \(5\) и \(10\). Найдите большую высоту параллелограмма.

Добавить задание в избранное

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена: \(S=ah\). Тогда \(h=S:a\). Следовательно, чем больше \(a\), тем меньше \(h\) (при фиксированном \(S\)). Таким образом, большая высота равна \[h=\dfrac{40}5=8\]

Ответ: 8

1 2 3