Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства параллелограмма:

 

\(\blacktriangleright\) Противоположные стороны попарно равны;

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\blacktriangleright\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\).


 

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

 

\(\blacktriangleright\) если противоположные стороны попарно равны;

 

\(\blacktriangleright\) если две стороны равны и параллельны;

 

\(\blacktriangleright\) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\blacktriangleright\) если противоположные углы попарно равны.

 

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.


 

Задание 8 #3618
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь параллелограмма равна \(40\), две его стороны равны \(5\) и \(10\). Найдите большую высоту параллелограмма.

Добавить задание в избранное

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена: \(S=ah\). Тогда \(h=S:a\). Следовательно, чем больше \(a\), тем меньше \(h\) (при фиксированном \(S\)). Таким образом, большая высота равна \[h=\dfrac{40}5=8\]

Ответ: 8

Задание 9 #3934
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Один угол параллелограмма больше другого на \(70^\circ\). Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают \(180^\circ\). Следовательно, пусть \(x\) – некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен \(x+70^\circ\). Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, следовательно, \[x+x+70^\circ=180^\circ\quad\Rightarrow\quad x=55^\circ\] Тогда больший угол параллелограмма равен \(x+70^\circ=125^\circ\).

Ответ: 125

Задание 10 #2614
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр треугольника равен 6. Найдите периметр треугольника, стороны которого параллельны сторонам данного и проходят через его вершины.

Добавить задание в избранное



Пусть длины сторон треугольника \(ABC\): \(AB, BC, CA\) равны \(a, b, c\) соответственно, тогда периметр треугольника \(ABC: P_{ABC} = a + b + c\). Найдем сторону \(EF\): из условия известно, что \(EF\parallel AB, DE\parallel AC, DF\parallel BC\), тогда можно заметить, что четырёхугольники \(ABCF\) и \(ABEC\) – параллелограммы, т. к. стороны этих четырёхугольников попарно параллельны. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно равны, а значит, что \(AB=FC=CE\Rightarrow EF = 2\cdot a\), аналогично доказывается, что: \[DE = 2\cdot c, DF = 2\cdot b\Rightarrow P_{DEF} = 2\cdot (a+b+c) = 2\cdot P_{ABC} = 12.\]

Ответ: 12

Задание 11 #1786
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\) сумма длин диагоналей равна 10, а меньшая сторона параллелограмма \(ABCD\) равна 2. Найдите наименьший из периметров треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\).



Добавить задание в избранное

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 12 #2618
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна 9.

Добавить задание в избранное



Т.к. треугольник равнобедренный и прямоугольный, то его углы при гипотенузе равны по \(45^\circ\). Квадрат образует с гипотенузой углы \(\angle GFC = 90^\circ\) и \(\angle DEF = 90^\circ\), а значит, что треугольники \(DBE\) и \(GFC\) – равнобедренные прямоугольные, т.к. \(\angle BDE = 45^\circ, \angle FGC = 45^\circ\). Пусть сторона квадрата равна \(a\), тогда длину гипотенузы можно выразить через сторону квадрата: \[BC = 3\cdot a = 9\Rightarrow a = 3.\]

Ответ: 3

Задание 13 #2693
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников \(BOC\) и \(COD\) равна 2. Найдите большую сторону параллелограмма.

Добавить задание в избранное



По свойству параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. \(BO = DO, AO = CO.\) \[P_{BOC} = BC + BO + CO, P_{COD} = CD + DO + CO \Rightarrow P_{BOC} - P_{COD} = BC - CD = 2.\] Пусть \(BC = x\), тогда \(CD = x - 2\), подставим эти выражения в формулу периметра: \[BC + AD + CD + AB = x+x+(x-2)+(x-2) = 12\Rightarrow x = 4.\]

Ответ: 4

Задание 14 #2617
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника с диагональю, равной 8.

Добавить задание в избранное



Пусть \(AB = a, BC = b\), в прямоугольнике все углы прямые, тогда по теореме Пифагора: \[\sqrt{a^2 + b^2} = 8.\] Найдем сторону \(EF\): т.к. \(E\) и \(F\) – середины сторон \(AB\) и \(BC\), то \(BF = \dfrac{b}2, EB = \dfrac{a}2\), тогда \(EF = \sqrt{\dfrac{a^2}4 + \dfrac{b^2}4}\), аналогично находятся остальные стороны, которые равны. Найдем периметр: \[P_{EFGK} = 4\cdot \sqrt{\dfrac{a^2}4 + \dfrac{b^2}4} = 2\cdot\sqrt{a^2 + b^2} = 2\cdot AC = 16.\]

Ответ: 16

1 2 3