Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач на прямоугольник (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства прямоугольника:

 

\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:

 

\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;

\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Диагонали равны;

 

\(\blacktriangleright\) Все углы прямые.

 

Признаки прямоугольника.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – прямоугольник:

 

\(\blacktriangleright\) все углы прямые;

 

\(\blacktriangleright\) диагонали равны и он является параллелограммом.

 

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.


 

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр прямоугольника \(ABCD\) равен \(26\), а его площадь равна \(40\). Найдите разность большей и меньшей сторон этого прямоугольника.



Добавить задание в избранное

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.

Обозначим длину прямоугольника за \(a\), а его ширину за \(b\), тогда \(a\cdot b = 40\), \(a + b + a + b = 2(a + b) = 26\), откуда \(b = 13 - a\) и, значит, \(a \cdot (13 - a) = 40\), что равносильно \(a^2 - 13a + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2\), корни \(a_1 = 0,5(13 + 3) = 8, \ a_2 = 0,5(13 - 3) = 5\). При \(a = 5\) получаем \(b = 8\), но \(a \geq b\), тогда \(a = 8, \ b = 5\) и разность большей и меньшей сторон равна \(8 - 5 = 3\).

Ответ: 3

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Периметр прямоугольника \(ABCD\) относится к периметру треугольника \(ABC\), как \(7:6\). Найдите периметр \(ABCD\), если \(BD = 10\).

Добавить задание в избранное


 

\(P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC\), \(P_{ABCD} = 2\cdot(AB + BC)\) \(\Rightarrow\) \(2\cdot P_{\triangle ABC} - P_{ABCD} = 2\cdot AC = 2\cdot BD = 20\). С другой стороны \(2\cdot P_{\triangle ABC} - P_{ABCD} = 2\cdot 6\cdot x - 7\cdot x = 5\cdot x\) \(\Rightarrow\) \(5\cdot x = 20\) \(\Rightarrow\) \(x = 4\), откуда находим \(P_{ABCD} = 7\cdot x = 28\).

Ответ: 28