Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Признаки и свойства равнобедренной трапеции (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

 

Свойства равнобедренной трапеции:

 

\(\blacktriangleright\) Углы при каждом основании равны;

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали равны;

 

\(\blacktriangleright\) Два треугольника, образованные диагоналями и одним из оснований, являются равнобедренными;

 

\(\blacktriangleright\) Два треугольника, образованные диагоналями и боковой стороной, равны.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) вдвое длиннее основания \(BC\) и боковой стороны. Найдите площадь трапеции, если боковая сторона равна \(\sqrt[4]{3}\).

Добавить задание в избранное


 

Если опустить высоты \(BH\) и \(CK\) на основание \(AD\), то они отсекут равные отрезки \(AH\) и \(KD\). Тогда \(AB = BC = HK = \sqrt[4]{3}\), \(AD = 2\sqrt[4]{3}\), \(AH = KD = \frac{1}{2}\sqrt[4]{3}\) \(\Rightarrow\) \(BH^2 = AB^2 - AH^2\) \(\Rightarrow\) \(BH = \frac{\sqrt3\sqrt[4]{3}}{2}\) \(\Rightarrow\) \(S_{ABCD} = BH\cdot\frac{1}{2}\cdot(BC + AD) = \frac{9}{4} = 2,25\).

Ответ: 2,25

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(14\) и \(26\), а ее боковые стороны равны \(10\). Найдите площадь трапеции.

Добавить задание в избранное

Проведем высоту \(BH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(26-14):2=6\).



Тогда из прямоугольного треугольника \(ABH\): \[BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\] Тогда площадь трапеции: \[S=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{26+14}2\cdot 8=160\]

Ответ: 160

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(7\) и \(13\), а ее площадь равна \(40\). Найдите боковую сторону трапеции.

Добавить задание в избранное

Проведем высоту \(BH\).



Площадь трапеции равна \[40=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{7+13}2\cdot BH\quad\Rightarrow\quad BH= 4\] Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(13-7):2=3\). Следовательно, \[AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=5\]

Ответ: 5

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(14\) и \(26\), а ее периметр равен \(60\). Найдите площадь трапеции.

Добавить задание в избранное

Проведем высоту \(BH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(26-14):2=6\).



Так как периметр трапеции равен \(60\), а боковые стороны равны, то \[AB=\dfrac{60-14-26}2=10\] Тогда из прямоугольного треугольника \(ABH\): \[BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\] Тогда площадь трапеции: \[S=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{26+14}2\cdot 8=160\]

Ответ: 160

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(7\) и \(13\), а ее площадь равна \(40\). Найдите периметр трапеции.

Добавить задание в избранное

Проведем высоту \(BH\).



Площадь трапеции равна \[40=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{7+13}2\cdot BH\quad\Rightarrow\quad BH= 4\] Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(13-7):2=3\). Следовательно, \[AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=5\] Тогда периметр трапеции равен \(5+5+7+13=30\).

Ответ: 30

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции большее основание равно \(25\), боковая сторона равна \(10\), угол между ними \(60^\circ\). Найдите меньшее основание.

Добавить задание в избранное

\(\angle A=60^\circ\). Проведем высоту \(BH\).



По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2\). В прямоугольном \(\triangle ABH\) \(\angle ABH=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \(AH=AB:2=5\). Следовательно, \[5=(25-BC):2\quad\Rightarrow\quad BC=15\]

Ответ: 15

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равнобедренной трапеции основания равны \(12\) и \(27\), острый угол равен \(60^\circ\). Найдите ее периметр.

Добавить задание в избранное

\(\angle A=60^\circ\). Проведем высоту \(BH\).



По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(27-12):2=7,5\). В прямоугольном \(\triangle ABH\) \(\angle ABH=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \(AH=AB:2\). Значит, \(AB=2AH=15\). Следовательно, периметр равен \[P=15+15+12+27=69\]

Ответ: 69

1 2 3