Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Ромб и его свойства (страница 2)

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства ромба:

 

\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:

 

\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;

 

\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\);

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.


 

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

 

\(\blacktriangleright\) все стороны равны;

 

\(\blacktriangleright\) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

 

\(\blacktriangleright\) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

 

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.


 

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.


 

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Середины сторон ромба \(ABCD\) являются вершинами четырехугольника \(KLMN\). Середины сторон \(KLMN\) — четырехугольника \(PQRS\). Найдите отношение площади ромба \(ABCD\) к площади четырехугольника \(PQRS\)?

Добавить задание в избранное


 

1) По теореме Вариньона \(KLMN\) – параллелограмм. Но т.к. \(KN\parallel BD, KL\parallel AC, BD\perp AC \ \Rightarrow \ KN\perp KL\), значит, \(KLMN\) — прямоугольник, причем \(S_{KLMN}=KN\cdot KL\).

 

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то \(S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\). Но \(KN=\frac12 BD, KL=\frac12 AC\) как средние линии, следовательно, \(S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD=2KN\cdot KL=2\cdot S_{KLMN}\).

 

2) Аналогично \(PQRS\) – параллелограмм. Но, как средние линии, \(PQ=\frac12NL, PS=\frac12 KM\); а \(NL=KM\), значит и \(PQ=PS\). Следовательно, \(PQRS\) – ромб.

 

Заметим, что \(QS=KN, PR=KL\), значит, \(S_{PQRS}=\frac 12 QS\cdot PR=\frac 12 KLMN\).

 

Из всего этого следует, что \(S_{ABCD}=4S_{PQRS}\). Значит, отношение равно \(4\).

Ответ: 4