Ромб и его свойства (страница 2)

1) По теореме Вариньона \(KLMN\) – параллелограмм. Но т.к. \(KN\parallel BD, KL\parallel AC, BD\perp AC \ \Rightarrow \ KN\perp KL\), значит, \(KLMN\) — прямоугольник, причем \(S_{KLMN}=KN\cdot KL\).

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то \(S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\). Но \(KN=\frac12 BD, KL=\frac12 AC\) как средние линии, следовательно, \(S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD=2KN\cdot KL=2\cdot S_{KLMN}\).

2) Аналогично \(PQRS\) – параллелограмм. Но, как средние линии, \(PQ=\frac12NL, PS=\frac12 KM\); а \(NL=KM\), значит и \(PQ=PS\). Следовательно, \(PQRS\) – ромб.

Заметим, что \(QS=KN, PR=KL\), значит, \(S_{PQRS}=\frac 12 QS\cdot PR=\frac 12 KLMN\).

Из всего этого следует, что \(S_{ABCD}=4S_{PQRS}\). Значит, отношение равно \(4\).

Ответ: 4

Пусть меньшая диагональ равна \(d\), тогда большая равна \(3d\). Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[6=S=0,5\cdot d\cdot 3d\quad\Rightarrow\quad d=2\]

Ответ: 2

Пусть \(d\) – диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[18=S=0,5\cdot d\cdot 12\quad\Rightarrow\quad d=3\]

Ответ: 3

Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[S=0,5\cdot 4\cdot 12=24\]

Ответ: 24

Проведем \(DH\perp AB\).



Так как \(\angle A=30^\circ\), а катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AD=2DH=2\cdot 2=4\). Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно, \[S=DH\cdot AB=4\cdot 2=8\] (\(AB=AD\), так как в ромбе по определению все стороны равны)

Ответ: 8

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle BDC=\angle BDA\). Так как у ромба все стороны равны, то \(AD=AB\), следовательно, \(\angle BDA=\angle DBA=x\). Тогда \(x+x+\angle DAB=180^\circ\), откуда \[x=(180^\circ-148^\circ):2=16^\circ\]

Ответ: 16

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то \(\angle ACB=\angle ACD\). Так как у ромба все стороны равны, то \(AD=DC\), следовательно, \(\angle CAD=\angle ACD=x\). Тогда \(x+x+\angle CDA=180^\circ\), откуда \[x=(180^\circ-78^\circ):2=51^\circ\]

Ответ: 51