Нахождение высоты, биссектрисы и медианы треугольника (страница 3)

1 способ

Проведем \(OA\).



Тогда \(\angle DOE=\angle DOA+\angle EOA\). Так как \(\angle AEO=\angle ADO=90^\circ\), то из прямоугольных треугольников \(\triangle AEO\) и \(\triangle ADO\) \(\angle EOA=90^\circ-\angle OAE\), \(\angle DOA=90^\circ-\angle OAD\). Следовательно: \[\angle DOE=\angle DOA+\angle EOA=90^\circ-\angle OAD+90^\circ-\angle OAE= 180^\circ-(\angle OAD+\angle OAE)=180^\circ-\angle A=180^\circ-56^\circ=124^\circ\]

2 способ

Вспомним, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\). Тогда для четырехугольника \(AEOD\): \(\angle A+\angle E+\angle O+\angle D=360^\circ\), откуда \[\angle DOE=\angle O=360^\circ-90^\circ-90^\circ-56^\circ=124^\circ\]

Ответ: 124

\(AM = MN\),

\(MN = NC\),

тогда \(AC = AM + MN + NC = 3\cdot MN\).

\(AC : MN = 3\).

Ответ: 3

\(\angle AKB = \angle PKQ\), так как они вертикальные.

\(\angle KAB = 0,5\cdot \angle CAB\), \(\angle ABK = 0,5\cdot \angle ABC\), тогда при учёте того, что сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\) (\(\angle CAB + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}\)):

\(\angle KAB + \angle ABK = 0,5\cdot (\angle CAB + \angle ABC) = 0,5\cdot (180^{\circ} - 75^{\circ}) = 52,5^{\circ}\), значит,

\(\angle AKB = 180^{\circ} - (\angle KAB + \angle ABK) = 180^{\circ} - 52,5^{\circ} = 127,5^{\circ}\). Таким образом, \(\angle PKQ = 127,5^{\circ}\).

Ответ: 127,5

Так как каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то \(PK = KQ = 33\).

Покажем это подробнее:

треугольники \(PKB\) и \(BKQ\) – прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и \(\angle PBK = \angle KBQ\), тогда треугольники \(PKB\) и \(BKQ\) равны по гипотенузе и острому углу, значит, \(PK = KQ\).

Ответ: 33

Точка \(P\) находится на равном расстоянии от обеих сторон треугольника, следовательно, лежит на биссектрисе \(BH\), а т.к. \(AB=BC\), то \(BH\) также является медианой и высотой.

\(\angle ABH = 60^\circ\), а \(\angle BPK = 30^\circ\), тогда \(BP = 2\sqrt{3}, BH= 4\sqrt{3}\).

Теперь найдем \(AH\) по теореме Пифагора: \(AH = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{3})^2} = 12\Rightarrow AC = 12\cdot 2 = 24.\)

Ответ: 24

Т.к. треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(BK\) - медиана, высота и биссектриса. Тогда по теореме Пифагора:

\[BK = \sqrt{BC^2 - KC^2} = 18.\]

По свойству медиан точка \(M\) делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины, тогда \(BM = 12, MK = 6\). По свойству биссектрис \(AT\) делит отрезок \(BM\) на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть:  

\[\dfrac{TK}{AK} = \dfrac{TB}{AB}\Rightarrow \dfrac{TK}{24} = \dfrac{18 - TK}{30}\Rightarrow TK = 8.\]  

\[TM = TK - KM = 8 - 6 = 2.\]

Ответ: 2