Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение высоты, биссектрисы и медианы треугольника (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Высота треугольника может упасть как на сторону, так и на ее продолжение. Второй случай возможен только если треугольник тупоугольный и высота проведена из вершины острого угла.


 

\(\blacktriangleright\) Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Все высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

 

\(\blacktriangleright\) В равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию, совпадают (отрезок \(BO\,\)).
Обратно: если в треугольнике совпадают биссектриса и медиана (биссектриса и высота, высота и медиана), проведенные к одной стороне, то этот треугольник равнобедренный.


 

\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Обратно: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.


 

\(\blacktriangleright\) Медианы треугольника своей точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.


 

\(\blacktriangleright\) Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Обратно: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.


 

\(\blacktriangleright\) Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Обратно: каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.


 

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) так, что \(M\) – середина \(AN\), а \(BN\) – медиана в треугольнике \(BMC\). Во сколько раз \(AC\) длинее, чем \(MN\)?



Добавить задание в избранное

\(AM = MN\),

\(MN = NC\),

тогда \(AC = AM + MN + NC = 3\cdot MN\).

\(AC : MN = 3\).

Ответ: 3

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BP\) и \(AQ\) – биссектрисы, пересекающиеся в точке \(K\), \(\angle C = 75^{\circ}\). Найдите \(\angle PKQ\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

\(\angle AKB = \angle PKQ\), так как они вертикальные.

\(\angle KAB = 0,5\cdot \angle CAB\), \(\angle ABK = 0,5\cdot \angle ABC\), тогда при учёте того, что сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\) (\(\angle CAB + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}\)):

\(\angle KAB + \angle ABK = 0,5\cdot (\angle CAB + \angle ABC) = 0,5\cdot (180^{\circ} - 75^{\circ}) = 52,5^{\circ}\), значит,

\(\angle AKB = 180^{\circ} - (\angle KAB + \angle ABK) = 180^{\circ} - 52,5^{\circ} = 127,5^{\circ}\). Таким образом, \(\angle PKQ = 127,5^{\circ}\).

Ответ: 127,5

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(BM\) – биссектриса, на сторонах \(AB\) и \(BC\) выбраны точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причём перпендикуляр к \(AB\), проходящий через точку \(P\) и перпендикуляр к \(BC\), проходящий через точку \(Q\), пересеклись в точке \(K\), лежащей на биссектрисе \(BM\). Найдите \(PK\), если известно, что \(KQ = 33\).



Добавить задание в избранное

Так как каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то \(PK = KQ = 33\).

Покажем это подробнее:

треугольники \(PKB\) и \(BKQ\) – прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и \(\angle PBK = \angle KBQ\), тогда треугольники \(PKB\) и \(BKQ\) равны по гипотенузе и острому углу, значит, \(PK = KQ\).

Ответ: 33

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен \(30^\circ\), а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии \(2\sqrt{3}\) от основания.

Добавить задание в избранное


 

Точка \(P\) находится на равном расстоянии от обеих сторон треугольника, следовательно, лежит на биссектрисе \(BH\), а т.к. \(AB=BC\), то \(BH\) также является медианой и высотой.

\(\angle ABH = 60^\circ\), а \(\angle BPK = 30^\circ\), тогда \(BP = 2\sqrt{3}, BH= 4\sqrt{3}\).

Теперь найдем \(AH\) по теореме Пифагора: \(AH = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{3})^2} = 12\Rightarrow AC = 12\cdot 2 = 24.\)

Ответ: 24

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В равнобедренном треугольнике \(ABC\), в котором \(AB = BC = 30, AC = 48\), найти расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.

Добавить задание в избранное



Т.к. треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(BK\) - медиана, высота и биссектриса. Тогда по теореме Пифагора:

\[BK = \sqrt{BC^2 - KC^2} = 18.\]

По свойству медиан точка \(M\) делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины, тогда \(BM = 12, MK = 6\). По свойству биссектрис \(AT\) делит отрезок \(BM\) на части, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть:  

\[\dfrac{TK}{AK} = \dfrac{TB}{AB}\Rightarrow \dfrac{TK}{24} = \dfrac{18 - TK}{30}\Rightarrow TK = 8.\]  

\[TM = TK - KM = 8 - 6 = 2.\]

Ответ: 2