Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) равна 90, боковая сторона равна \(10\sqrt{3}\). К основанию \(AB\) и стороне \(BC\) проведены высоты \(CP\) и \(AH\), пересекающиеся в точке \(D\). Найдите площадь треугольника \(CDH\).

Добавить задание в избранное



Т.к. треугольник равнобедренный, то \(CA = BC \Rightarrow S_{ACB} = 0,5\cdot AC\cdot AH = 90\Rightarrow AH = 6\sqrt{3}\).

Из треугольника \(HCA\) по теореме Пифагора имеем: \(CH = \sqrt{CA^2 - AH^2} = 8\sqrt{3}.\)

Т.к. \(CP\) - высота равнобедренного треугольника \(\Rightarrow\) она также является биссектрисой и медианой, тогда по свойству биссектрисы:

\[\dfrac{DH}{CH} = \dfrac{AD}{AC} \Rightarrow \dfrac{DH}{8\sqrt{3}} =\dfrac{(6\sqrt{3} - DH)}{10\sqrt{3}}\Rightarrow DH = \dfrac{8\sqrt{3}}3.\] \[S_{CDH} = 0,5\cdot CH\cdot DH = 32.\]  

Ответ: 32

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена биссектриса \(BT\), причем \(AT = 15, TC = 12\). Найдите площадь треугольника \(ABT\).

Добавить задание в избранное



По свойству биссектрисы:   \[\dfrac{CT}{BC} = \dfrac{AT}{AB}\]   Пусть \(BC = x, AB = y\), тогда:   \[\dfrac{12}x = \dfrac{15}y\Rightarrow x = 0,8\cdot y.\]   Из треугольника \(BAC\) имеем по теореме Пифагора: \(x^2+27^2 = y^2\Rightarrow 0,64\cdot y^2 + 27^2 = y^2\Rightarrow y = 45, x = 36.\) \[S_{ATB} = 0,5\cdot AT\cdot BC = 0,5\cdot 15\cdot 36 = 270.\]

Ответ: 270

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) со сторонами \(BC = 6, AB = 4\) проведена биссектриса \(BD\). Высота \(DH = 3\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Добавить задание в избранное



Биссектриса делит треугольник \(ABC\) на 2 треугольника, которые имеют одинаковый угол, следовательно, их площади относятся как произведения сторон, образовавших этот угол:  

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \dfrac{AB\cdot BD}{BC\cdot BD} = \dfrac{AB}{BC}.\]  

Площадь треугольника \(BDC\) найдем по формуле площади треугольника:  

\[S_{DBC} = \dfrac{1}2\cdot DH\cdot BC = \dfrac{1}2\cdot 3\cdot 6 = 9.\]  

Найдем площадь треугольника \(ABD\) из отношения:  

\[S_{ABD} = \dfrac{4}6\cdot S_{DBC} = \dfrac{4}6\cdot 9 = 6.\]  

Сложим площади треугольников \(ABD\) и \(DBC\) и получим площадь искомого треугольника \(ABC\):

\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC} = 6 + 9 =15.\]

Ответ: 15

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Проекция диагонали равнобедренной трапеции на ее большее основание равна \(6\), боковая сторона равна \(3\). Найдите площадь трапеции, если угол при её меньшем основании равен \(150^\circ\).

Добавить задание в избранное


 

\(AE\) - есть проекция диагонали \(AC\) на основание трапеции \(AD\). Запишем формулу площади трапеции:  

\[S=CE\cdot\dfrac{BC+AD}2.\]  

Проведя вторую высоту \(BF\), заметим, что треугольники \(AFB\) и \(DEC\) равны по двум углам и стороне между ними, т. к. боковые стороны в равнобедренной трапеции равны, отсюда следует, что:

\[AF=ED \Rightarrow FE=AD-2ED=BC.\]

Подставим полученные данные в формулу площади трапеции:  

\[CE \cdot \dfrac{BC+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{AD-2ED+AD}{2}= CE \cdot \dfrac{2 \cdot(AE+ED) - 2ED}{2}= CE \cdot AE.\]  

Чтобы найти высоту \(CE\), заметим, что \(\angle ABC= 150^\circ\Rightarrow \angle ABF = 150^\circ-90^\circ = 60^\circ\Rightarrow BF=CE=\cos(60^\circ)\cdot AB\).

Теперь подставим высоту в формулу и найдем площадь трапеции:

\[S=AE\cdot\cos{60^\circ}\cdot AB= 6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 3=9.\]

Ответ: 9

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите квадрат площади треугольника \(ABC\), если \(AC =3\), \(BC= 4\), а медианы, проведенные из вершин \(A\) и \(B\), взаимно перпендикулярны.

Добавить задание в избранное



Т.к. \(BP\)- медиана, то \(S_{ABP} = S_{PBC}\Rightarrow S_{ABC} = 2\cdot S_{ABP}\).

Т.к. \(AM\) и \(BP\) - медианы, то точка \(O\) делит их в отношении 2:1, считая от вершины, тогда если \(OM = x\Rightarrow AO = 2x, OP = y\Rightarrow BO=2y\). Получим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 4\\ 4x^2 + y^2 = 2,25 \end{cases}\]  

Из системы находим \(x\) и \(y\):  

\[x = \sqrt{\dfrac{1}3}, y =\sqrt{\dfrac{2,75}3}\]

Тогда: \(S_{ABP} = 0,5\cdot 2x\cdot 3y = 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3}\).

\[S_{ABC} = 2\cdot 3\cdot \sqrt{\dfrac{1}3}\cdot \sqrt{\dfrac{2,75}3} = \sqrt{11}.\] \[(S_{ABC})^2 = 11.\]

Ответ: 11

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) даны три стороны: \(AB=26, BC=30, AC=28\). Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектриссой и высотой, проведенных из вершины \(B\).

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(BP\) и \(BQ\) - высота и биссектриса данного треугольника \(ABC\). По формуле Герона:

\[S_{ABC} = \sqrt{42\cdot(42 - 30)(42 - 28)(42 - 26)}=14\cdot6\cdot4 = 336.\]

Запишем формулу площади треугольника \(ABC\) через высоту: \(S_{ABC} = \dfrac{AC\cdot BP}2\). Тогда  

\[BP = \dfrac{2\cdot S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2\cdot 336}{28} = 24.\]  

Из свойства биссектрисы треугольника: \(\dfrac{AQ}{QC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{13}{15}.\)  

Поэтому: \(AQ = \dfrac{13}{28}\cdot AC =13.\)  

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(APB\):

\[AP = \sqrt{AB^2-BP^2} = \sqrt{26^2-24^2} = 10.\]

Слeдовательно, \(PQ = AQ - AP = 13-10=3, S_{BPQ} = \dfrac{1}2 \cdot PQ \cdot BP = \dfrac{3\cdot 24}2 = 36.\)

Ответ: 36

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). \(DC\) – большее основание трапеции. Площадь треугольника \(ADO\) равна 12, \(DO = 2BO\). Найдите площадь трапеции.

Добавить задание в избранное


 

По формуле площади треугольника:

\[S_{ADO} = 0,5\cdot 2BO\cdot OH\Rightarrow S_{AOB} = 0,5\cdot BO\cdot OH =12 : 2 = 6.\]

Т.к. \(AB\parallel DC\Rightarrow \) треугольники \(AOB\) и \(DOC\) подобны и коэффициент подобия:

\[k = \dfrac{DO}{BO} = 2\Rightarrow \dfrac{S_{DOC}}{S_{AOB}}= k^2 = 4.\] \[S_{DOC} = 6\cdot 4 =24, S_{BOC} = S_{AOD} = 12.\] \[S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{AOB} + S_{DOC} + S_{BOC} = 54.\]

Ответ: 54

1 2 3 4