Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на нахождение площади и периметра треугольника (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Площадь треугольника равна полупроизведению основания \(a\) и высоты \(h\), проведенной к этому основанию.

 

\(\blacktriangleright\) Формула Герона для площади треугольника:

\(\large{S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\), где \(p\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют равные высоты (\(\triangle\) и \(\triangle_{1}\)), то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.
Как следствие: медиана треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Если треугольники имеют по равному углу (\(\triangle\) и \(\triangle_{2}\)), то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

 

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). \(DC\) – большее основание трапеции. Площадь треугольника \(ADO\) равна 12, \(DO = 2BO\). Найдите площадь трапеции.

Добавить задание в избранное


 

По формуле площади треугольника:

\[S_{ADO} = 0,5\cdot 2BO\cdot OH\Rightarrow S_{AOB} = 0,5\cdot BO\cdot OH =12 : 2 = 6.\]

Т.к. \(AB\parallel DC\Rightarrow \) треугольники \(AOB\) и \(DOC\) подобны и коэффициент подобия:

\[k = \dfrac{DO}{BO} = 2\Rightarrow \dfrac{S_{DOC}}{S_{AOB}}= k^2 = 4.\] \[S_{DOC} = 6\cdot 4 =24, S_{BOC} = S_{AOD} = 12.\] \[S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{AOB} + S_{DOC} + S_{BOC} = 54.\]

Ответ: 54

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) даны три стороны: \(AB=26, BC=30, AC=28\). Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины \(B\).

Добавить задание в избранное


 

Пусть \(BP\) и \(BQ\) - высота и биссектриса данного треугольника \(ABC\) соответственно. По формуле Герона:

\[S_{ABC} = \sqrt{42\cdot(42 - 30)(42 - 28)(42 - 26)}=14\cdot6\cdot4 = 336.\]

Запишем формулу площади треугольника \(ABC\) через высоту: \(S_{ABC} = \dfrac{AC\cdot BP}2\). Тогда

\[BP = \dfrac{2\cdot S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2\cdot 336}{28} = 24.\]

Из свойства биссектрисы треугольника: \(\dfrac{AQ}{QC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{13}{15}.\)

 

Поэтому: \(AQ = \dfrac{13}{28}\cdot AC =13.\)

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(APB\):

\[AP = \sqrt{AB^2-BP^2} = \sqrt{26^2-24^2} = 10.\]

Слeдовательно, \(PQ = AQ - AP = 13-10=3, S_{BPQ} = \dfrac{1}2 \cdot PQ \cdot BP = \dfrac{3\cdot 24}2 = 36.\)

Ответ: 36

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) точка \(H\) делит сторону \(AB\) в отношении \(\dfrac{2}3\), считая от вершины \(B\). Найдите площадь треугольника \(HBC\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(15\).

Добавить задание в избранное


 

Треугольники \(ABC\) и \(HBC\) имеют общий угол \(B\), следовательно:

\[\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}} = \dfrac{HB\cdot BC}{AB\cdot BC} = \dfrac{HB}{AB}.\]

Пусть \(HB = 2x\), \(AH = 3x\), учитывая то, что \(AB = HB + AH\), получаем:

\[\dfrac{HB}{AB} = \dfrac{2x}{2x+3x} = \dfrac{2}5 \quad\Rightarrow \quad S_{HBC} = S_{ABC} \cdot \dfrac{2}5 = 6.\]

Ответ: 6

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) со сторонами \(BC = 6, AB = 4\) проведена биссектриса \(BD\). Высота \(DH\) треугольника \(DBC\) равна \(3\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Добавить задание в избранное



Биссектриса делит треугольник \(ABC\) на два треугольника, имеющие по равному углу, следовательно, их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы:

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \dfrac{AB\cdot BD}{BC\cdot BD} = \dfrac{AB}{BC}\quad (*)\] Площадь треугольника \(BDC\) равна

\[S_{DBC} = \dfrac{1}2\cdot DH\cdot BC = \dfrac{1}2\cdot 3\cdot 6 = 9.\] Найдем площадь треугольника \(ABD\) из отношения \((*)\):

\[S_{ABD} = \dfrac{4}6\cdot S_{DBC} = \dfrac{4}6\cdot 9 = 6.\] Сложим площади треугольников \(ABD\) и \(DBC\) и получим площадь искомого треугольника \(ABC\):

\[S_{ABC} = S_{ABD} + S_{DBC} = 6 + 9 =15.\]

Ответ: 15

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AD\). Найдите площадь треугольника \(ABD\), если \(\angle C = 90^\circ , CD = 3, AB = 6\).

Добавить задание в избранное



Т.к. \(\angle BAD = \angle DAC\), то площади треугольников \(ABD\) и \(ADC\) относятся друг к другу как произведения сторон, образующих равные углы:

\[\dfrac{S_{ABD}}{S_{ADC}} = \dfrac{AB\cdot AD}{AC\cdot AD} = \dfrac{AB}{AC}\]

\[S_{ADC} = \dfrac{1}2 \cdot AC\cdot CD \quad\Rightarrow\quad S_{ABD} = \dfrac{AB}{AC}\cdot \dfrac{1}2\cdot AC\cdot CD = \dfrac{1}2 \cdot AB\cdot CD= 9.\]

Ответ: 9

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) построен отрезок \(AD\), причем \(BD = 4\), \(D\in BC\). Найдите площадь треугольника \(ABD\), если \(\angle C = 90^\circ , AC = 5\).

Добавить задание в избранное



Так как \(AC\) перпендикулярна прямой \(BC\), то \(AC\) – высота тупоугольного треугольника \(ABD\), опущенная из вершины \(B\) на продолжение стороны \(BD\). Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то \[S_{ABD}=\dfrac12\cdot BD\cdot AC=\dfrac12\cdot 4\cdot 5=10\]

Ответ: 10

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(KDA\) проведена медиана \(DB = 3\). Найдите площадь треугольника \(KDA\), если известно, что \(KD = 4, KA = 10\).

Добавить задание в избранное



Медиана \(DB\) делит \(KA\) пополам \(\Rightarrow KB = 5\). Так как известны все стороны треугольника \(KDB\), найдем его площадь по формуле Герона: \[S_{KDB} = \sqrt{6\cdot(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)}=6.\] Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то есть \(S_{KDB}=S_{ADB}\), следовательно,

\[S_{KDA} = 2\cdot S_{KDB} = 12.\]

Ответ: 12

1 2 3 4