Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Равнобедренные и равносторонние треугольники (страница 4)

Основные теоремы:

\(\blacktriangleright\) Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают \(180^\circ\): \(\alpha +\beta =180^\circ\).


 

\(\blacktriangleright\) Сумма внутренних углов треугольника равна \(180^\circ\): \(\alpha+\beta+\gamma =180^\circ\)

 

\(\blacktriangleright\) Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: \(\phi=\alpha+\beta\)


 

\(\blacktriangleright\) Биссектриса треугольника – отрезок, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам.

 

\(\blacktriangleright\) Высота треугольника – отрезок, выходящий из вершины угла под углом \(90^\circ\) к противолежащей стороне (или ее продолжению).

 

\(\blacktriangleright\) Медиана треугольника – отрезок, выходящий из вершины угла и делящий противолежащую сторону пополам.


 

\(\blacktriangleright\) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.


 

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AB = BC\), \(AD\) – высота, \(\angle CAD = 19^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Так как \(AD\) – высота, то \(\angle CDA = 90^{\circ}\), тогда \(\angle CAD + \angle C = 90^{\circ}\). \(\angle CAD = 19^{\circ}\), тогда \(\angle C = 71^{\circ}\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle CAB = \angle C = 71^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle B = 180^{\circ} - \angle C - \angle CAB = 180^{\circ} - 71^{\circ} - 71^{\circ} = 38^{\circ}\).

Ответ: 38

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(AC = BC\), \(BD\) – высота, \(\angle ABD = 25^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Так как \(BD\) – высота, то \(\angle ADB = 90^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ABD = 90^{\circ}\). \(\angle ABD = 25^{\circ}\), тогда \(\angle A = 65^{\circ}\).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle CBA = \angle A = 65^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle CBA = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 65^{\circ} = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Один из углов равнобедренного треугольника равен \(92^{\circ}\). Найдите какой-нибудь другой его угол.



Добавить задание в избранное

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \(92^{\circ}\) – один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна \(92^{\circ} + 92^{\circ} = 184^{\circ} > 180^{\circ}\) – противоречие, значит, \(92^{\circ}\) – угол при вершине.

Сумма углов при основании равна \(180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ}\). Так как углы при основании равны, то оба они по \(88^{\circ} : 2 = 44^{\circ}\).

Ответ: 44

Задание 25
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В \(\triangle ABC\) \(AH\) – высота, \(BD\) – биссектриса, \(O\) – точка пересечения прямых \(AH\) и \(BD\), угол \(ABD\) равен \(62^\circ\). Найдите угол \(AOB\).

Добавить задание в избранное

 

Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD=\angle ABD= 62^\circ\). \(\angle HBO=\angle CBD=62^\circ\) как вертикальные.
\(\angle OHB=\angle AHB=90^\circ\).
Следовательно, \(\angle AOB=\angle HOB=90^\circ-\angle HBO=90^\circ-62^\circ=28^\circ\) (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\)).

Ответ: 28

Задание 26
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Один из углов равнобедренного треугольника равен \(124^{\circ}\). Найдите какой-нибудь другой его угол.



Добавить задание в избранное

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \(124^{\circ}\) – один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна \(124^{\circ} + 124^{\circ} = 248^{\circ} > 180^{\circ}\) – противоречие, значит, \(124^{\circ}\) – угол при вершине.

Сумма углов при основании равна \(180^{\circ} - 124^{\circ} = 56^{\circ}\). Так как углы при основании равны, то оба они по \(56^{\circ} : 2 = 28^{\circ}\).

Ответ: 28

Задание 27
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 35^{\circ}\), \(BD\) – высота, \(\angle CBD = 26^{\circ}\). Найдите \(\angle ABC\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Так как \(BD\) – высота, то \(\angle ADB = 90^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).

Так как \(\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD\), то \(\angle ABD = \angle ABC + 26^{\circ}\). При этом \(\angle A = 35^{\circ}\), тогда \(35^{\circ} + \angle ABC + 26^{\circ} = 90^{\circ}\), откуда находим \(\angle ABC = 29^{\circ}\).

Ответ: 29

Задание 28
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 27^{\circ}\), \(CD\) – высота, \(\angle BCD = 18^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Так как \(CD\) – высота, то \(\angle ADC = 90^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).

Так как \(\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD\), то \(\angle ACD = \angle ACB + 18^{\circ}\). При этом \(\angle A = 27^{\circ}\), тогда \(27^{\circ} + \angle ACB + 18^{\circ} = 90^{\circ}\), откуда находим \(\angle ACB = 45^{\circ}\).

Ответ: 45

1 .... 3 4 5 6