Равнобедренные и равносторонние треугольники (страница 5)

Так как \(BD\) – высота, то \(\angle ADB = 90^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).

Так как \(\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD\), то \(\angle ABD = \angle ABC + 26^{\circ}\). При этом \(\angle A = 35^{\circ}\), тогда \(35^{\circ} + \angle ABC + 26^{\circ} = 90^{\circ}\), откуда находим \(\angle ABC = 29^{\circ}\).

Ответ: 29

Так как \(CD\) – высота, то \(\angle ADC = 90^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).

Так как \(\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD\), то \(\angle ACD = \angle ACB + 18^{\circ}\). При этом \(\angle A = 27^{\circ}\), тогда \(27^{\circ} + \angle ACB + 18^{\circ} = 90^{\circ}\), откуда находим \(\angle ACB = 45^{\circ}\).

Ответ: 45

Так как треугольник \(ABC\) – тупоугольный, то градусная мера одного из его углов больше \(90^\circ\).

Так как сумма углов треугольника \(180^\circ\), то сумма острых углов треугольника \(ABC\) меньше \(90^\circ\), следовательно, второй острый угол в \(ABC\) меньше \(90^\circ - 47^\circ = 43^\circ\), то есть он наименьший.

Таким образом, угол в \(47^\circ\) не является ни наибольшим, ни наименьшим. В итоге сумма меньшего и большего углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ - 47^\circ = 133^\circ\).

Замечание

Наличие в задаче условия \(AB = 2BC\) не влияет ни на ход решения, ни на ответ.

Ответ: 133

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(AC = AD = BD\), то \(\angle ADC = \angle C\), \(\angle B = \angle BAD\).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle ADC = \angle B + \angle BAD = 2\cdot \angle B\), тогда \(\angle C = 2\cdot \angle B > \angle B\). \(\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = \angle B + \angle DAC > \angle B\). Таким образом, \(\angle B\) – наименьший.

Так как \(AD\) – биссектриса, то \(\angle BAC = 2\cdot \angle BAD = 2\cdot \angle B\).

Итого: \(\angle C = 2\cdot \angle B\), \(\angle BAC = 2\cdot \angle B\), значит, \(\angle BAC + \angle B + \angle C = 5\cdot \angle B\). Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(5\cdot \angle B = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle B = 36^{\circ}\).

Ответ: 36

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(CK = BC\), то \(\angle CBK = \angle K\).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle BCK = \angle A + \angle ABC = 32^{\circ} + 70^{\circ} = 102^{\circ}\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle BCK + \angle CBK + \angle K = 180^{\circ}\), но \(\angle CBK = \angle K\), тогда \(102^{\circ} + 2\cdot \angle K = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle K = 39^{\circ}\).

Ответ: 39

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(AB = BD\), то \(\angle BAD = \angle D\).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle ABD = \angle C + \angle BAC = 71^{\circ} + 52^{\circ} = 123^{\circ}\).

Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\), то \(\angle D + \angle BAD + \angle ABD = 180^{\circ}\), но \(\angle BAD = \angle D\), тогда \(2\cdot \angle D + \angle ABD = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle D = 28,5^{\circ}\).

Ответ: 28,5

Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}\). Так как \(AM\) – биссектриса, то \(\angle MAN =\cdot \angle BAM = 15^{\circ}\).

Треугольники \(ABM\) и \(ANM\) равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(\angle BMA = \angle AMN\). \(\angle BMA = 180^{\circ} - \angle BAM - \angle B = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 110^{\circ} = 55^{\circ}\), тогда \(\angle BMN = 2\cdot \angle BMA = 110^{\circ}\). Тогда \(\angle CMN = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\).

Ответ: 70