Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на клетчатой бумаге

\(\blacktriangleright\) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.

 

\(\blacktriangleright\) В равных прямоугольниках равны диагонали.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.


 

\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\) (рис. 1).

 

\(\blacktriangleright\) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге изображен угол. Найдите его градусную величину.

Добавить задание в избранное

Обозначим этот угол \(ASD\). Отметим точку \(F\) так, чтобы получился прямоугольный \(\triangle SDF\):



Тогда \(\angle ASD=\angle ASF+\angle FSD\). Заметим, что \(\angle ASF=90^\circ\). Заметим также, что \(FS=FD\), следовательно, \(\triangle SDF\) прямоугольный и равнобедренный, значит, его острые углы равны по \(45^\circ\).
Следовательно, \[\angle ASD=90^\circ+45^\circ=135^\circ.\]

Ответ: 135

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите площадь треугольника \(A'B'C\), где \(A'B'\) – средняя линия, параллельная стороне \(AB\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(A'\in AC, B'\in BC\).



По свойству средней линии \(\triangle ABC\sim \triangle A'B'C\) с коэффициентом подобия, равным \(2\). Следовательно, их площади относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть \[\dfrac{S_{ABC}}{S_{A'B'C}}=4\] Высота \(\triangle ABC\), опущенная из \(C\), равна \(2\), \(AB=7\). Следовательно, \(S_{ABC}=\frac12\cdot 2\cdot 7=7\). Тогда \[S_{A'B'C}=\dfrac74=1,75.\]

Ответ: 1,75

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите длину средней линии, параллельной стороне \(AB\).

Добавить задание в избранное

Длина средней линии треугольника, параллельной стороне \(AB\), равна \(\frac12AB\). Так как \(AB=7\), то средняя линия равна \(3,5\).

Ответ: 3,5

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге изображен треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности, если сторона одной клетки равна \(3\).

Добавить задание в избранное

Будем искать радиус вписанной окружности по формуле \(S=p\cdot r\), где \(S\) – площадь, \(p\) – полупериметр.
Заметим, что треугольник равнобедренный: \(AB=BC.\)



Так как длина стороны клетки равна \(3\), то \(AH=12, BH=9\), следовательно, \(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=15.\) Тогда \[\dfrac12\cdot BH\cdot AC=\dfrac{AB+BC+AC}2\cdot r \quad\Rightarrow\quad r=4.\]

Заметим, что в задачах подобного типа можно вычислять все длины, как будто длина стороны клетки равна \(1\), а затем умножать полученный ответ на \(3\). Если бы длина одной клетки была равна \(1\), то \(AH=4, BH=3\), \(AB=5\) и \(r=\frac43\). Тогда после умножения на \(3\) также получили бы \(r=4\). При решении задачи таким способом вычисления будут легче.

Ответ: 4

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисована трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.



Добавить задание в избранное

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции есть \(0,5\cdot (3 \text{мм} + 4 \text{мм})\cdot 3 \text{мм} = 10,5\)мм\(^2\).

Ответ: 10,5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.



Добавить задание в избранное

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, тогда площадь нарисованного треугольника есть \(0,5\cdot 3\)мм \(\cdot 4\)мм \(= 6\)мм\(^2\).

Ответ: 6

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.



Добавить задание в избранное

У данного четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие не параллельны, следовательно, это трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Площадь нарисованной трапеции равна \(0,5(2 \text{мм} + 3 \text{мм})\cdot 4 \text{мм} = 10\) мм\(^2\).

Ответ: 10

Если выпускник готовится к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывает на получение конкурентных баллов, ему непременно стоит освоить принцип решения задач на клетчатой бумаге. Подобные планиметрические задания каждый год включаются в программу аттестационного испытания. Таким образом, справляться с задачами ЕГЭ на клетчатой бумаге должны все учащиеся, независимо от уровня их подготовки.

Полезная информация

Задания ЕГЭ на клетчатой бумаге часто решаются гораздо проще, чем задачи, для выполнения которых требуется применение аналитических методов. Чаще всего в подобных упражнениях необходимо найти площадь фигуры. Решить такие задачи можно, вспомнив основные теоремы и свойства трапеции, треугольника, шестиугольника и т. д.

Как подготовиться к экзамену?

Если задания ЕГЭ на клетчатой бумаге вызывают у вас трудности, обратитесь к образовательному порталу «Школково». С нами вы сможете повторить материал по темам, которые являются для вас сложными и таким образом восполнить пробелы в знаниях. В разделе «Теоретическая справка» представлена вся базовая информация. Ее наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме на основе богатого практического опыта.

Освоить принцип решения задач на клетчатой бумаге помогут упражнения, представленные в разделе «Каталог». Мы подготовили простые и более сложные задания. Тренироваться в их выполнении учащиеся из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме.

Справившись с заданием, выпускники имеют возможность сохранить его в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем. База заданий на сайте «Школково» регулярно обновляется.