Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Использование различных формул площадей многоугольников (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Треугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Произвольный выпуклый четырехугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Параллелограмм:


 

\(\blacktriangleright\) Ромб:


 

\(\blacktriangleright\) Прямоугольник:


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат:


 

\(\blacktriangleright\) Трапеция:

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^\circ\). Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна \(25\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(a\) – боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[\dfrac12\cdot a^2\cdot \sin30^\circ=S=25\quad\Rightarrow\quad a^2=100\quad\Rightarrow\quad a=10\]

Ответ: 10

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное


 

Площадь прямоугольника равна \(S_1=ab\), площадь параллелограмма равна \(S_2=ab\cdot \sin\alpha\). Из условия следует, что \(2S_2=S_1\). Следовательно: \[2ab\cdot \sin\alpha=ab\quad\Rightarrow\quad \sin\alpha=\dfrac12\quad\Rightarrow \quad \alpha=30^\circ\]

Ответ: 30

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны \(8\) и \(12\), а угол между ними равен \(30^\circ\).

Добавить задание в избранное


 

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=\dfrac12\cdot 8\cdot 12 \cdot \dfrac12=24\]

Ответ: 24

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^\circ\). Боковая сторона треугольника равна \(20\). Найдите площадь этого треугольника.

Добавить задание в избранное


 

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=\dfrac12\cdot 20^2 \cdot \dfrac12=100\]

Ответ: 100

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^\circ\). Боковая сторона треугольника равна \(10\). Найдите площадь этого треугольника.

Добавить задание в избранное


 

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=\dfrac12\cdot 10^2 \cdot \dfrac12=25\]

Ответ: 25

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Катеты прямоугольного треугольника относятся как \(5:4\), а площадь равна \(4,1\). Найдите гипотенузу этого треугольника.

Добавить задание в избранное

Т.к. катеты относятся как \(5:4\), то их можно обозначить за \(4x\) и \(5x\). Тогда необходимо найти гипотенузу, по теореме Пифагора равную \(\sqrt{25x^2+16x^2}=\sqrt{41x^2}\).

 

Т.к. площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов, то \(S=0,5\cdot 5x\cdot 4x=10x^2=4,1\). Следовательно, \(x^2=0,41\).

 

Значит, гипотенуза равна \[\sqrt{41\cdot 0,41}=\sqrt{41\cdot 41\cdot 0,01}=41\cdot 0,1=4,1.\]

Ответ: 4,1

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан треугольник \(ABC\). На сторонах \(AB\) и \(BC\) отмечены точки \(A'\) и \(C'\) соответственно. Известно, что \(BC'=0,5BC=4\), \(AB=14\), \(S_{ABC}=7S_{A'BC'}\). Найдите \(A'B\).

Добавить задание в избранное


 

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC}=0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B\).

 

Площадь треугольника \(A'BC'\) равна \(S_{A'BC'}=0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B\).

 

Таким образом, имеем равенство:

\[0,5\cdot 14 \cdot 8\cdot \sin\angle B=7\cdot 0,5\cdot A'B\cdot 4\cdot \sin\angle B \quad \Leftrightarrow \quad A'B=4.\]

Ответ: 4

1 2 3 4