Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Центральные и вписанные углы окружности (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

 

\(\blacktriangleright\) Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

 

\(\blacktriangleright\) Таким образом, если центральный угол \(\alpha_{\text{ц}}\) и вписанный угол \(\alpha_{\text{в}}\) опираются на одну и ту же дугу, то: \[\Large{\alpha_{\text{ц}}=2\cdot \alpha_{\text{в}}}\]


 

\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (или на диаметр), равен \(90^\circ\).

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В окружности с центром \(O\) \(AC\) и \(BD\) – диаметры. Центральный угол \(AOD\) равен \(110^\circ\). Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как \(BD\) – диаметр, то \(\angle BOD=180^\circ\), следовательно, \(\angle AOB=180^\circ-\angle AOD=70^\circ\). \(\angle AOB\) и \(\angle ACB\) – центральный и вписанный углы соответственно, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, \(\angle ACB=\angle AOB:2=35^\circ\).

Ответ:

35

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(ABC\) равен \(105^\circ\), угол \(CAD\) равен \(35^\circ\). Найдите угол \(ABD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\buildrel\smile\over{CDA}\,=2\cdot 105^\circ=210^\circ\). Аналогично меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{CD}\,=2\cdot 35^\circ=70^\circ\) (см.рис.). Следовательно, меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AD}\,=210^\circ-70^\circ=140^\circ\) (см.рис.). Значит \(\angle ABD\), как вписанный и опирающийся на дугу, равную \(140^\circ\), сам равен \(70^\circ\).

Ответ:

70

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную радиусу окружности. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Обозначим хорду за \(AB\). Рассмотрим \(\triangle AOB\), где \(O\) – центр окружности.



Так как \(AB\) равна радиусу окружности, то \(\triangle AOB\) – равносторонний. Следовательно, \(\angle AOB=60^\circ\). Заметим, что \(\angle AOB\) и \(\angle ACB\) – центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, \(\angle ACB=0,5\angle AOB=30^\circ\).

Ответ:

30

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A\) и \(B\) делят окружность на две дуги, одна из которых равна \(170^\circ\), а другая точкой \(K\) делится в отношении \(11:8\), считая от точки \(A\). Найдите \(\angle BAK\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. \(\buildrel\smile\over{AK}:\buildrel\smile\over{KB}=11:8\), то можно обозначить \(\buildrel\smile\over{AK}=11x, \buildrel\smile\over{KB}=8x\).

 

Дуга \(\buildrel\smile\over{AKB}=360^\circ -170^\circ=190^\circ\). Следовательно, \(11x+8x=19x=190^\circ \quad \Rightarrow \quad x=10^\circ\). Значит, дуга \(\buildrel\smile\over{KB}=8x=80^\circ\). Угол \(BAK\) вписанный и опирается на эту дугу, следовательно, он равен ее половине, то есть \(40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Хорды \(KN\) и \(LM\) взаимно перпендикулярны. Найдите угол \(NLM\), если угол \(KML\) равен \(35^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Вписанные углы \(KML\) и \(KNL\) опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, значит, \(\angle KNL=35^\circ\). Тогда \(\angle NLM=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\).

Ответ: 55

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A\) и \(C\) разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна \(280^\circ\) и на которой отмечена точка \(B\). Найдите угол \(BAC\), если \(AB=AC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

\(\buildrel\smile\over{ABC}=280^\circ\), следовательно, меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AC}=360^\circ-280^\circ=80^\circ\). Т.к. угол \(ABC\) опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть \(40^\circ\).
Заметим, что \(\triangle ABC\) – равнобедренный, следовательно, \(\angle BAC=180^\circ-2\cdot 40^\circ=100^\circ\).

Ответ: 100

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на окружности с центром в точке \(O\) (так, что \(ABCD\) – четырёхугольник). Длина дуги \(AD\) (которая меньше полуокружности) составляет \(0,8\) длины дуги \(AB\) (которая меньше полуокружности). Найдите, во сколько раз \(\angle AOB\) больше, чем \(\angle DCA\).

Добавить задание в избранное




 

Градусные меры дуг окружности относятся как их длины, тогда градусная мера дуги \(AB\) в \(1: 0,8 = 1,25\) раз больше, чем градусная мера дуги \(AD\).
Градусной мерой дуги называется градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, тогда \[\dfrac{\angle AOB}{\angle DCA} = \dfrac{\smile AB}{0,5 \smile AD} = 2 \cdot \dfrac{\smile AB}{\smile AD} = 2,5.\]

Ответ: 2,5

1 2 3