6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
\(\blacktriangleright\) Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
\(\blacktriangleright\) Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
\(\blacktriangleright\) Таким образом, если центральный угол \(\alpha_{\text{ц}}\) и вписанный угол \(\alpha_{\text{в}}\) опираются на одну и ту же дугу, то: \[\Large{\alpha_{\text{ц}}=2\cdot
\alpha_{\text{в}}}\]
\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (или на диаметр), равен \(90^\circ\).
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна \(\frac15\) длины окружности. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим рисунок:
Так как длина меньшей дуги \(AC\) равна \(\frac15\) длины окружности, то и ее градусная мера равна \(\frac15\) градусной меры окружности, то есть равна \(\frac15\cdot 360^\circ=72^\circ\). Угол \(ABC\) – вписанный, опирающийся на меньшую дугу \(AC\), следовательно, равен ее половине, то есть \(36^\circ\).
Ответ: 36
Дуга окружности \(AC\), не содержащая точки \(B\), имеет градусную меру \(200^\circ\), а дуга окружности \(BC\), не содержащая точки \(A\), имеет градусную меру \(80^\circ\). Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.
Так как градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то дуга \(AB\), не содержащая точки \(C\), равна \(360^\circ-200^\circ-80^\circ=80^\circ\). Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\angle ACB\) равен \(40^\circ\).
Ответ: 40
Хорда \(AB\) делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как \(5:7\). Под каким углом видна эта хорда из точки \(C\), принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.
Так как градусные меры дуг относятся как \(5:7\), то можно ввести обозначения: \(5x\) – градусная мера меньшей дуги, \(7x\) – большей. Тогда \(5x+7x=360^\circ\), откуда \(x=30^\circ\).
Нужно найти \(\angle ACB\). Он является вписанным и равен половине большей дуги, следовательно, равен \(0,5\cdot 7x\), или \(105^\circ\).
Ответ: 105
Точки \(A, B, C\), расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как \(1:3:5\). Найдите больший угол треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.
Пусть дуги \(AB=x\), \(BC=3x\), \(AC=5x\). Так как градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то \(x+3x+5x=360^\circ\), откуда \(x=40^\circ\).
Из вписанных углов \(\angle ABC\), \(\angle ACB\) и \(\angle BAC\) большим будет тот, который опирается на большую дугу, то есть на дугу \(AC\), равную \(5\cdot 40^\circ=200^\circ\). Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\angle ABC=100^\circ\).
Ответ: 100
\(AC\) и \(BD\) – диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(ACB\) равен \(38^\circ\). Найдите угол \(AOD\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(\angle ACB\) – вписанный угол, то центральный угол \(AOB\), который опирается на ту же дугу, что и \(ACB\), в два раза больше: \(\angle AOB=2\cdot 38^\circ=76^\circ\). Так как \(BD\) – диаметр, то угол \(BOD\) – развернутый и равен \(180^\circ\), следовательно, \(\angle AOD=180^\circ-\angle AOB=104^\circ\).
Ответ: 104
В окружности с центром \(O\) \(AC\) и \(BD\) – диаметры. Центральный угол \(AOD\) равен \(110^\circ\). Найдите вписанный угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(BD\) – диаметр, то \(\angle BOD=180^\circ\), следовательно, \(\angle AOB=180^\circ-\angle AOD=70^\circ\). \(\angle AOB\) и \(\angle ACB\) – центральный и вписанный углы соответственно, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, \(\angle ACB=\angle AOB:2=35^\circ\).
Ответ: 35
Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(ABC\) равен \(105^\circ\), угол \(CAD\) равен \(35^\circ\). Найдите угол \(ABD\). Ответ дайте в градусах.
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\buildrel\smile\over{CDA}\,=2\cdot 105^\circ=210^\circ\). Аналогично меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{CD}\,=2\cdot 35^\circ=70^\circ\) (см.рис.). Следовательно, меньшая дуга \(\buildrel\smile\over{AD}\,=210^\circ-70^\circ=140^\circ\) (см.рис.). Значит \(\angle ABD\), как вписанный и опирающийся на дугу, равную \(140^\circ\), сам равен \(70^\circ\).
Ответ: 70
