Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;


 

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

 

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large{AO \cdot OC=BO\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large{OA^2=OB\cdot OC}\]


 

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;\[\large{ OA\cdot OC=OB\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;\[\large{OA=OB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) угла \(CAE\) лежат на окружности, причём точка \(B\) лежит на \(AC\), \(AB = 3\), \(AC = 6\), \(AD = 2\). Найдите \(DE\).

Добавить задание в избранное

Произведение отрезков секущих равны: \(AB \cdot AC = AD \cdot AE\). Покажем это:
Построим \(AF\) – касательную



Так как квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то \(AB \cdot AC = AF^2 = AD \cdot AE\).
В данной задаче имеем: \(18 = 2 \cdot AE\), откуда \(AE = 9\), тогда \(DE = AE - AD = 9 - 2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(AB\) – хорда окружности с центром в точке \(O\). При этом \(AB = 10\). Какую наименьшую длину может иметь радиус \(R\) такой окружности, если известно, что \(AB > 1,5R\)?

Добавить задание в избранное

Докажем, что диаметр – это хорда наибольшей длины. Пусть \(MN\) – произвольная хорда, не являющаяся диаметром, а \(MK\) – диаметр. Тогда треугольник \(MNK\) прямоугольный, \(MK\) – гипотенуза, \(MN\) – катет, следовательно, \(MK > MN\), то есть диаметр больше любой хорды.



Чтобы радиус исходной окружности был наименьшим, необходимо, чтобы хорда \(AB\) была наибольшей, то есть чтобы \(AB\) была диаметром окружности. При этом \(AB = 2R > 1,5 R\), то есть условие выполнено.

Таким образом, наименьшее возможное значение \(R\) равно \(AB : 2 = 10 : 2 = 5\).

Ответ: 5

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(AC\) касается окружности в точке \(C\), \(AB\) касается окружности в точке \(B\), \(\angle CAB = 58^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(AB = AC\). Покажем это: Построим радиусы \(OB\) и \(OC\) и соединим \(OA\)


 

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(\angle ACO = 90^{\circ} = \angle ABO\).
\(OC = OB\), как радиусы, тогда
в прямоугольных треугольниках \(AOC\) и \(AOB\) катеты \(OC\) и \(OB\) равны, а гипотенуза \(AO\) – общая, следовательно, треугольники \(AOC\) и \(AOB\) равны по катету и гипотенузе, откуда получаем \(AB = AC\).

Таким образом, треугольник \(ABC\) – равнобедренный и \[\angle ACB = \angle ABC = 0,5(180^{\circ} - \angle CAB) = 61^{\circ}.\]

Ответ: 61

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Диаметр \(AA_1\) окружности пересекает хорду \(BB_1\) под прямым углом в точке \(C\), причем делится этой точкой на отрезки длиной \(18\) и \(32\), считая от точки \(A\). Найдите \(BB_1\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Проведем из центра окружности точки \(O\) радиус \(OB\). Т.к. весь диаметр равен \(18+32=50\), то радиус равен \(25\). Следовательно, \(OB=25, \ OC=25-18=7\).

 

Т.к. радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то \(BC=CB_1\). Найдем \(BC\). Треугольник \(BOC\) – прямоугольный, следовательно, \[BC^2=BO^2-OC^2 \quad \Rightarrow \quad BC^2=25^2-7^2=24^2 \quad \Rightarrow \quad BC=24\]

Значит, \(BB_1=2BC=48\).

Ответ: 48

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точки \(B\) и \(D\) треугольника \(QBD\) лежат на окружности с центром в точке \(O\), \(C\) – вторая точка пересечения \(QD\) с окружностью, \(A\) – вторая точка пересечения \(QB\) с окружностью. Известно, что \(QA = QC\), дуги \(CD\) и \(AB\) равны, \(\angle QBD = 63^{\circ}\). Найдите \(\angle BQD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Равные дуги стягивают равные хорды: \(DC = AB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OC\) и \(OA\)


 

Так как дуги \(CD\) и \(AB\) равны, то их градусные меры совпадают, тогда \(\angle COD = \angle AOB\), как центральные углы, опирающиеся на равные дуги.
\(CO = OD = AO = OB\), как радиусы, тогда
треугольники \(AOB\) и \(DOC\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(DC = AB\).
\(QD = QC + CD = QA + AB\), тогда треугольник \(QBD\) – равнобедренный и \(63^{\circ} = \angle QBD = \angle QDB\), значит \[\angle BQD = 180^{\circ} - 63^{\circ} - 63^{\circ} = 54^{\circ}.\]

Ответ: 54

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите угол \(MON\), если \(\angle BAC=32^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку (пусть \(B, C\) – точки касания):


 

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то \(MB=MX\) и \(NC=NX\). Т.к. радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, то \(\angle OCN=\angle OXN=\angle OXM=\angle OBM=90^\circ\). Таким образом, по двум катетам равны треугольники: \(\triangle OBM=\triangle OXM\) и \(\triangle OXN=\triangle OCN\).
Значит, \(\angle BOM=\angle XOM\) и \(\angle XON=\angle CON\).

 

Следовательно, \(\angle MON=\frac12 \angle BOC\).

 

Т.к. в четырехугольнике сумма углов равна \(360^\circ\), то в четырехугольнике \(ABOC\): \[\angle BOC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle A=180^\circ-\angle A.\]

Следовательно, \[\angle MON=\dfrac12\left(180^\circ-\angle A\right)=90^\circ-\dfrac12\angle A=90^\circ-\dfrac12\cdot 32^\circ=74^\circ.\]

Ответ: 74

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\) (где \(B, C\) – точки касания). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(AMN\), если \(AB=10\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то \(AB=AC=10\), \(MB=MX\) и \(NC=NX\).

 

Следовательно, периметр

 

\(P_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+(MX+XN)+AN=\)

 

\(=AM+(MB+NC)+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=10+10=20.\)

Ответ: 20

1 2 3