Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;


 

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

 

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large{AO \cdot OC=BO\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large{OA^2=OB\cdot OC}\]


 

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;\[\large{ OA\cdot OC=OB\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;\[\large{OA=OB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Задание 8 #644
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\) угла \(CAE\) лежат на окружности, причём точка \(B\) лежит на \(AC\), \(AB = 3\), \(AC = 6\), \(AD = 2\). Найдите \(DE\).

Добавить задание в избранное

Произведение отрезков секущих равны: \(AB \cdot AC = AD \cdot AE\). Покажем это:
Построим \(AF\) – касательную



Так как квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то \(AB \cdot AC = AF^2 = AD \cdot AE\).
В данной задаче имеем: \(18 = 2 \cdot AE\), откуда \(AE = 9\), тогда \(DE = AE - AD = 9 - 2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 9 #2672
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(AB\) – хорда окружности с центром в точке \(O\). При этом \(AB = 10\). Какую наименьшую длину может иметь радиус \(R\) такой окружности, если известно, что \(AB > 1,5R\)?

Добавить задание в избранное

Докажем, что диаметр – это хорда наибольшей длины. Пусть \(MN\) – произвольная хорда, не являющаяся диаметром, а \(MK\) – диаметр. Тогда треугольник \(MNK\) прямоугольный, \(MK\) – гипотенуза, \(MN\) – катет, следовательно, \(MK > MN\), то есть диаметр больше любой хорды.



Чтобы радиус исходной окружности был наименьшим, необходимо, чтобы хорда \(AB\) была наибольшей, то есть чтобы \(AB\) была диаметром окружности. При этом \(AB = 2R > 1,5 R\), то есть условие выполнено.

Таким образом, наименьшее возможное значение \(R\) равно \(AB : 2 = 10 : 2 = 5\).

Ответ: 5

Задание 10 #645
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(AC\) касается окружности в точке \(C\), \(AB\) касается окружности в точке \(B\), \(\angle CAB = 58^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \(AB = AC\). Покажем это: Построим радиусы \(OB\) и \(OC\) и соединим \(OA\)


 

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(\angle ACO = 90^{\circ} = \angle ABO\).
\(OC = OB\), как радиусы, тогда
в прямоугольных треугольниках \(AOC\) и \(AOB\) катеты \(OC\) и \(OB\) равны, а гипотенуза \(AO\) – общая, следовательно, треугольники \(AOC\) и \(AOB\) равны по катету и гипотенузе, откуда получаем \(AB = AC\).

Таким образом, треугольник \(ABC\) – равнобедренный и \[\angle ACB = \angle ABC = 0,5(180^{\circ} - \angle CAB) = 61^{\circ}.\]

Ответ: 61

Задание 11 #2172
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Диаметр \(AA_1\) окружности пересекает хорду \(BB_1\) под прямым углом в точке \(C\), причем делится этой точкой на отрезки длиной \(18\) и \(32\), считая от точки \(A\). Найдите \(BB_1\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Проведем из центра окружности точки \(O\) радиус \(OB\). Т.к. весь диаметр равен \(18+32=50\), то радиус равен \(25\). Следовательно, \(OB=25, \ OC=25-18=7\).

 

Т.к. радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то \(BC=CB_1\). Найдем \(BC\). Треугольник \(BOC\) – прямоугольный, следовательно, \[BC^2=BO^2-OC^2 \quad \Rightarrow \quad BC^2=25^2-7^2=24^2 \quad \Rightarrow \quad BC=24\]

Значит, \(BB_1=2BC=48\).

Ответ: 48

Задание 12 #646
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точки \(B\) и \(D\) треугольника \(QBD\) лежат на окружности с центром в точке \(O\), \(C\) – вторая точка пересечения \(QD\) с окружностью, \(A\) – вторая точка пересечения \(QB\) с окружностью. Известно, что \(QA = QC\), дуги \(CD\) и \(AB\) равны, \(\angle QBD = 63^{\circ}\). Найдите \(\angle BQD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Равные дуги стягивают равные хорды: \(DC = AB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OC\) и \(OA\)


 

Так как дуги \(CD\) и \(AB\) равны, то их градусные меры совпадают, тогда \(\angle COD = \angle AOB\), как центральные углы, опирающиеся на равные дуги.
\(CO = OD = AO = OB\), как радиусы, тогда
треугольники \(AOB\) и \(DOC\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \(DC = AB\).
\(QD = QC + CD = QA + AB\), тогда треугольник \(QBD\) – равнобедренный и \(63^{\circ} = \angle QBD = \angle QDB\), значит \[\angle BQD = 180^{\circ} - 63^{\circ} - 63^{\circ} = 54^{\circ}.\]

Ответ: 54

Задание 13 #2174
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите угол \(MON\), если \(\angle BAC=32^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку (пусть \(B, C\) – точки касания):


 

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то \(MB=MX\) и \(NC=NX\). Т.к. радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, то \(\angle OCN=\angle OXN=\angle OXM=\angle OBM=90^\circ\). Таким образом, по двум катетам равны треугольники: \(\triangle OBM=\triangle OXM\) и \(\triangle OXN=\triangle OCN\).
Значит, \(\angle BOM=\angle XOM\) и \(\angle XON=\angle CON\).

 

Следовательно, \(\angle MON=\frac12 \angle BOC\).

 

Т.к. в четырехугольнике сумма углов равна \(360^\circ\), то в четырехугольнике \(ABOC\): \[\angle BOC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle A=180^\circ-\angle A.\]

Следовательно, \[\angle MON=\dfrac12\left(180^\circ-\angle A\right)=90^\circ-\dfrac12\angle A=90^\circ-\dfrac12\cdot 32^\circ=74^\circ.\]

Ответ: 74

Задание 14 #2175
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\) (где \(B, C\) – точки касания). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(AMN\), если \(AB=10\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то \(AB=AC=10\), \(MB=MX\) и \(NC=NX\).

 

Следовательно, периметр

 

\(P_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+(MX+XN)+AN=\)

 

\(=AM+(MB+NC)+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=10+10=20.\)

Ответ: 20

1 2 3