Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;


 

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

 

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large{AO \cdot OC=BO\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large{OA^2=OB\cdot OC}\]


 

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;\[\large{ OA\cdot OC=OB\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;\[\large{OA=OB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая отрезки \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите угол \(MON\), если \(\angle BAC=32^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку (пусть \(B, C\) – точки касания):


 

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то \(MB=MX\) и \(NC=NX\). Т.к. радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, то \(\angle OCN=\angle OXN=\angle OXM=\angle OBM=90^\circ\). Таким образом, по двум катетам равны треугольники: \(\triangle OBM=\triangle OXM\) и \(\triangle OXN=\triangle OCN\).
Значит, \(\angle BOM=\angle XOM\) и \(\angle XON=\angle CON\).

 

Следовательно, \(\angle MON=\frac12 \angle BOC\).

 

Т.к. в четырехугольнике сумма углов равна \(360^\circ\), то в четырехугольнике \(ABOC\): \[\angle BOC=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle A=180^\circ-\angle A.\]

Следовательно, \[\angle MON=\dfrac12\left(180^\circ-\angle A\right)=90^\circ-\dfrac12\angle A=90^\circ-\dfrac12\cdot 32^\circ=74^\circ.\]

Ответ: 74

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\) (где \(B, C\) – точки касания). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая отрезки \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(AMN\), если \(AB=10\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то \(AB=AC=10\), \(MB=MX\) и \(NC=NX\).

 

Следовательно, периметр

 

\(P_{\triangle AMN}=AM+MN+AN=AM+(MX+XN)+AN=\)

 

\(=AM+(MB+NC)+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=10+10=20.\)

Ответ: 20

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = 2BC\), \(\angle BAC = 30^\circ\). Найдите \(\dfrac{AC^2}{BC^2}\). Если задача допускает несколько ответов – запишите полусумму наименьшего и наибольшего из них.

Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. В данном случае известно, что в треугольнике \(ABC\) сторона, лежащая против угла в \(30^\circ\), равна половине другой стороны. Значит ли это, что треугольник \(ABC\) обязательно прямоугольный? Подобного рода умозаключения в общем случае очень опасны, так как часто попросту неверны.

 

Но в данном конкретном случае нам повезло: докажем, что треугольник \(ABC\) – прямоугольный. В самом деле, если опустить перпендикуляр \(BH\) из точки \(B\) на прямую, содержащую \(AC\), то окажется, что \(BH = 0,5AB = BC\).


 

Но если при этом \(BH\) и \(BC\) не совпадают, то \(HBC\) – прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза \(BC\) равна катету \(BH\), чего быть не может, следовательно, \(BH\) и \(BC\) совпадают и треугольник \(ABC\) – прямоугольный.

По теореме Пифагора в треугольнике \(ABC\): \[AB^2 = BC^2 + AC^2\quad\Leftrightarrow\quad 4BC^2 = BC^2 + AC^2\quad\Leftrightarrow\quad AC^2 = 3BC^2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{AC^2}{BC^2} = 3\,.\]

Ответ: 3