Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;


 

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

 

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large{AO \cdot OC=BO\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large{OA^2=OB\cdot OC}\]


 

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;\[\large{ OA\cdot OC=OB\cdot OD}\]


 

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;\[\large{OA=OB}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Задание 15 #2768
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AB = 2BC\), \(\angle BAC = 30^\circ\). Найдите \(\dfrac{AC^2}{BC^2}\). Если задача допускает несколько ответов – запишите полусумму наименьшего и наибольшего из них.

Добавить задание в избранное

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. В данном случае известно, что в треугольнике \(ABC\) сторона, лежащая против угла в \(30^\circ\), равна половине другой стороны. Значит ли это, что треугольник \(ABC\) обязательно прямоугольный? Подобного рода умозаключения в общем случае очень опасны, так как часто попросту неверны.

 

Но в данном конкретном случае нам повезло: докажем, что треугольник \(ABC\) – прямоугольный. В самом деле, если опустить перпендикуляр \(BH\) из точки \(B\) на прямую, содержащую \(AC\), то окажется, что \(BH = 0,5AB = BC\).


 

Но если при этом \(BH\) и \(BC\) не совпадают, то \(HBC\) – прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза \(BC\) равна катету \(BH\), чего быть не может, следовательно, \(BH\) и \(BC\) совпадают и треугольник \(ABC\) – прямоугольный.

По теореме Пифагора в треугольнике \(ABC\): \[AB^2 = BC^2 + AC^2\quad\Leftrightarrow\quad 4BC^2 = BC^2 + AC^2\quad\Leftrightarrow\quad AC^2 = 3BC^2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{AC^2}{BC^2} = 3\,.\]

Ответ: 3