Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, вписанная в многоугольник или угол (страница 2)

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла.
Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.

 

\(\blacktriangleright\) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).

 

Площадь описанного треугольника ищется по формуле \[{\Large{S_{\triangle}=p\cdot r}},\]

где \(p\) – полупериметр.


 

\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, \(r\) – радиус этой окружности, то верна формула: \[{\large{r=\dfrac{a+b-c}2}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2).
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле

\[{\large{S_{\text{опис.4-к}}=p\cdot r}},\]

где \(p\) – полупериметр.


 

\(\blacktriangleright\) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).

 

\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).

 

\(\blacktriangleright\) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны \(9\) и \(12\). Найдите среднюю линию трапеции.

Добавить задание в избранное

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна \(9+12=21\). Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то ответ: \(21:2=10,5\).

Ответ:

10,5

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(2+\sqrt2\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Добавить задание в избранное

Известно, что для любого треугольника \(S_{\triangle}=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае \(S_{\triangle}=0,5\cdot (2+\sqrt2)(2+\sqrt2)\). Гипотенуза по теореме Пифагора равна \(\sqrt2(2+\sqrt2)\), следовательно, \[r=\dfrac Sp=\dfrac{0,5 (2+\sqrt2)^2}{0,5 (2+\sqrt2+2+\sqrt2+\sqrt2(2+\sqrt2))} = 1\]

Ответ:

1

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) \(AC=4, BC=3\), угол \(C\) равен \(90^\circ\). Найдите радиус вписанной окружности.

Добавить задание в избранное

Известно, что для любого треугольника \(S_{\triangle}=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае \(S_{\triangle}=0,5\cdot 3\cdot 4=6\). Гипотенуза по теореме Пифагора равна \(\sqrt{3^2+4^2}=5\), следовательно, \[r=\dfrac Sp=\dfrac{6}{0,5(3+4+5)} = 1\]

Ответ:

1

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр треугольника равен \(12\), а радиус вписанной окружности равен \(1\). Найдите площадь этого треугольника.

Добавить задание в избранное

Так как \(S_{\triangle}=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, то \[S_{\triangle}=\dfrac{12}2\cdot 1=6\]

Ответ:

6

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как \(2:3:6\). Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен \(54\).

Добавить задание в избранное



Рассмотрим рисунок. Так как четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, четвертая сторона равна \((2x+6x)-3x=5x\). Тогда можно составить уравнение: \[2x+3x+6x+5x=54\quad\Leftrightarrow\quad 6x=20,25\] (большая сторона равна \(6x\))

Ответ: 20,25

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольник \(ABC\) вписана окружность с центром в точке \(O\), причем \(\angle AOB=110^\circ\). Найдите \(\angle C\) треугольника \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то \(AO, BO\) – биссектрисы углов \(A, B\) соответственно.



Следовательно, \(\angle BAO+\angle ABO=180^\circ-110^\circ=70^\circ\).
Также \(\angle A+\angle B=2\cdot (\angle BAO+\angle ABO)=140^\circ\), следовательно, \(\angle C=180^\circ-(\angle A+\angle B)=180^\circ-140^\circ=40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность, \(AB = 3,5\), \(AD = 4\), \(BC = 6,5\). Найдите длину \(CD\).

Добавить задание в избранное





Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
\(AB + CD = AD + BC\), откуда получаем \(3,5 + CD = 4 + 6,5\), значит, \(CD = 7\).

Ответ: 7

1 2 3 4