К окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), проведены три касательные, параллельные сторонам треугольника. Периметры отсеченных треугольников равны \(5, 6\) и \(7\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).
Рассмотрим рисунок. Пусть \(A_1, B_1, C_1\) – точки касания сторон \(\triangle ABC\) с окружностью. \(A', B', C'\) – точки на окружности, через которые проведены касательные параллельно сторонам треугольника. Получились треугольники \(AMN, BLK, CPR\). Пусть \(P_{AMN}=5, P_{BLK}=6, P_{CPR}=7\).
Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то \(MA'=MC_1, NA'=NB_1\). Следовательно, \[P_{AMN}=AM+MA'+NA'+AN=AM+MC_1+NB_1+AN=AC_1+AB_1=5\] Аналогично для других треугольников: \[\begin{aligned}
&P_{BLK}=BC_1+BA_1=6\\
&P_{CPR}=CA_1+CB_1=7 \end{aligned}\] Следовательно, \[P_{ABC}=(AC_1+AB_1)+(BC_1+BA_1)+(CA_1+CB_1)=5+6+7=18.\]
Ответ: 18