Окружность, вписанная в многоугольник или угол (страница 4)

Обозначим точки касания окружности и сторон угла за \(A\) и \(C\). Тогда известно, что \(AC=2\sqrt3\). Пусть также \(O\) – центр окружности. То есть необходимо найти \(OB\).

\(OA\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Рассмотрим \(\triangle ABC\): он равнобедренный (\(AB=BC\) как отрезки касательных, проведенных из одной точки), следовательно, \(\angle A=\angle C=0,5\cdot(180^\circ-60^\circ)=60^\circ\). Таким образом, он равносторонний, следовательно, \(AB=AC=2\sqrt3\).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=30^\circ\). Тогда из прямоугольного \(\triangle ABO\):

\[\cos 30^\circ=\dfrac{BA}{OB}=\dfrac{2\sqrt3}{OB} \quad \Rightarrow \quad OB=2\sqrt3\cdot \dfrac2{\sqrt3}=4.\]

Ответ: 4

Обозначим одну из точек касания окружности и сторон угла за \(A\). Пусть также \(O\) – центр окружности. То есть необходимо найти \(OB\).

\(OA=\sqrt2\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=45^\circ\). Тогда прямоугольный \(\triangle ABO\) является равнобедренным, то есть \(AB=OA=\sqrt2\). По теореме Пифагора:

\[OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{\sqrt2^{\,2}+\sqrt2^{\,2}}=2.\]

Ответ: 2

Пусть \(O\) – центр окружности.

\(OA=10\sqrt2\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=45^\circ\). Тогда прямоугольный \(\triangle ABO\) является равнобедренным, то есть \(AB=OA=10\sqrt2\). Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то \(BC=AB=10\sqrt2\). Следовательно, площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) равна

\[S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC=\dfrac12\cdot 10\sqrt2\cdot 10\sqrt2= 100.\]

Ответ: 100

Пусть \(O\) – центр окружности.

\(OA=5\sqrt2\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=45^\circ\). Тогда прямоугольный \(\triangle ABO\) является равнобедренным, то есть \(AB=OA=5\sqrt2\). Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то \(BC=AB=5\sqrt2\). Следовательно, по теореме Пифагора

\[AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2AB^2}=AB\cdot \sqrt2=5\sqrt2\cdot \sqrt2=10.\]

Ответ: 10

Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность, следовательно, в \(ABCD\) можно вписать окружность.



Так как в описанном четырёхугольнике биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке – центре вписанной в него окружности, то \(O\) – центр вписанной в \(ABCD\) окружности, следовательно, расстояния от точки \(O\) до \(BC\) и от точки \(O\) до \(CD\) равны и их разность равна \(0\).

Ответ: 0