В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(BC=3\), \(\sin\angle A=\dfrac16\). Найдите \(AH\).
По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AB}=\sin \angle A=\dfrac16\quad\Rightarrow\quad AB=6BC=18\] Так как по свойству прямоугольного треугольника \(\triangle AHC\sim \triangle ABC\), то \[\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AC^2}{AB}\] Нужно найти \(AC^2\). По теореме Пифагора \(AC^2=AB^2-BC^2=18^2-3^2=(18-3)(18+3)=15\cdot 21\). Следовательно, \[AH=\dfrac{15\cdot 21}{18}=\dfrac{35}2=17,5\]
Ответ: 17,5