Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15 #3315
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, \(BC=8\), \(BH=4\). Найдите \(\sin\angle A\).


 

Из \(\triangle BCH\): \[\sin\angle BCH=\dfrac{BH}{BC}=0,5\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\sin\angle A=\sin\angle BAC=0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 16 #3316
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH=4\) – высота, \(BC=\sqrt{17}\). Найдите \(\mathrm{tg}\,\angle A\).


 

По теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[BH=\sqrt{17-16}=1\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle BCH=\dfrac{BH}{CH}=0,25\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{tg}\,\angle BAC=0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 17 #3317
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB=3\), \(AD=21\), \(\sin\angle A=\dfrac67\). Найдите большую высоту параллелограмма.


 

Проведем высоты \(BK\) и \(DH\). Тогда из \(\triangle ADH\) и \(\triangle ABK\): \[\sin\angle A=\dfrac{DH}{AD}\quad {\small{и}}\quad \sin\angle A=\dfrac{BK}{AB}\] откуда \[DH=AD\sin\angle A\quad {\small{и}}\quad BK=AB\sin\angle A\] Так как \(AD>AB\), то \(DH\) – большая высота, следовательно, \[DH=21\cdot \dfrac67=18\]

Ответ: 18

Задание 18 #3318
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(51\) и \(65\). Боковые стороны равны \(25\). Найдите синус острого угла трапеции.

Рассмотрим рисунок:


 

Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=7\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABH\): \[BH=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{(25-7)(25+7)}=\sqrt{18\cdot 32}=3\cdot 8=24\] Тогда из \(\triangle ABH\) \[\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{24}{25}=0,96\]

Ответ: 0,96

Задание 19 #3319
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(43\) и \(73\). Косинус острого угла трапеции равен \(\dfrac57\). Найдите боковую сторону трапеции.


 

Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=15\). Тогда из \(\triangle ABH\): \[\dfrac57=\cos\angle A=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=21\]

Ответ: 21

Задание 20 #3304
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(AC=24\), \(BC=7\). Найдите \(\sin \angle A\).


 

Так как по определению \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}\] то нужно найти \(AB\). По теореме Пифагора \(AB=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=25\), следовательно, \[\sin \angle A=\dfrac{7}{25}=0,28\]

Ответ: 0,28

Задание 21 #2100
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(YES\) с гипотенузой \(YE\). Найдите \(\cos\angle E\), если \(\sin \angle Y=0,8\).


 

По определению синуса и косинуса: \[\sin \angle Y=\dfrac{ES}{YE} \qquad \text{и} \qquad \cos \angle E=\dfrac{ES}{YE}\]

Таким образом мы видим, что \(\cos \angle E=\sin \angle Y=0,8.\)

Ответ: 0,8