Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан треугольник \(YES\), причем \(\angle S=90^\circ\). Известно, что \(\mathrm{tg}\,\angle Y=1,5\). Найдите \(\mathrm{ctg}\,\angle E\).

Добавить задание в избранное


 

По определению тангенса и котангенса: \[\mathrm{tg}\,\angle Y=\dfrac{ES}{YS} \qquad \text{и} \qquad \mathrm{ctg}\,\angle E=\dfrac{ES}{YS}\]

Таким образом мы видим, что \(\mathrm{tg}\,\angle Y=\mathrm{ctg}\,\angle E=1,5.\)

Ответ: 1,5

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан треугольник \(YES\), причем \(\angle S\) — прямой. Найдите синус угла \(E\), если синус угла \(Y\) равен \(\dfrac35\).

Добавить задание в избранное


 

По определению синуса: \[\sin \angle E=\dfrac{YS}{YE}=\cos \angle Y\]

Т.к. \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\), то \(\cos^2\angle Y=1-(0,6)^2=0,64\), следовательно, \(\cos\angle Y=0,8\).

 

Значит и \(\sin \angle E=0,8\).

Ответ: 0,8

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан треугольник \(YES\), причем \(YS\perp ES\). Найдите \(\mathrm{tg}\,\angle Y\), если \(\mathrm{tg}\,\angle E=4\).

Добавить задание в избранное


 

По определению тангенса: \[\mathrm{tg}\,\angle Y=\dfrac{ES}{YS}=\mathrm{ctg}\,\angle E\]

Т.к. \(\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{ctg}\,\alpha=1\) для любого угла \(\alpha\), то \[\mathrm{ctg}\,\angle E=\dfrac1{\mathrm{tg}\,\angle E}=\dfrac14\]

Следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle Y=\frac14=0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 25
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 15\), \(\sin{\angle D} = 0,4\). Найдите длину \(h\) – высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AD\).

Добавить задание в избранное





В параллелограмме сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\), тогда \(\sin{\angle A} = \sin{(\pi - \angle D)} = \sin{\angle D} = 0,4\).

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[0,4 = \dfrac{h}{AB} = \dfrac{h}{15} \qquad\Rightarrow\qquad h = 6.\]

Ответ: 6

Задание 26
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(CAT\), причем \(\angle C=90^\circ\), а \(CH\) – высота этого треугольника.
Известно, что \(\sin \angle ACH=\frac25\), \(AT=8\). Найдите \(AH\).

Добавить задание в избранное


 

По определению синуса \(\sin \angle ACH=\dfrac{AH}{AC}\). Для того, чтобы найти \(AH\), необходимо найти \(AC\).

 

Т.к. высота прямоугольного треугольника \(CAT\), опущенная из вершины прямого угла, делит его на два треугольника, каждый из которых подобен \(\triangle CAT\), то \(\angle ACH=\angle ATC\). Значит, и \(\sin \angle ACH=\sin \angle ATC=\frac25\).

 

Но по определению \[\sin \angle ATC=\dfrac{AC}{AT} \quad \Rightarrow \quad \dfrac25=\dfrac{AC}8 \quad \Leftrightarrow \quad AC=\dfrac{16}5\]

Значит, \[\dfrac25=\dfrac{AH}{AC} \quad \Rightarrow \quad AH=AC\cdot \dfrac25=\dfrac{32}{25}=1,28.\]

Ответ: 1,28

Задание 27
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) сторона \(AC=12\), \(\mathrm{tg}\,A=\dfrac{\sqrt2}4\). Найдите высоту \(CH\).

Добавить задание в избранное


 

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Так как тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему, то \[\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{\sqrt2}4\] Следовательно, можно принять \(CH=\sqrt2x\), \(AH=4x\), где \(x\) – некоторое положительное число. Тогда по теореме Пифагора из этого же треугольника \[AC^2=AH^2+CH^2\quad\Rightarrow\quad 144=2x^2+16x^2\quad\Rightarrow\quad x=2\sqrt2.\] Следовательно, \[CH=\sqrt2x=\sqrt2\cdot 2\sqrt2=4.\]

Ответ: 4

Задание 28
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В ромбе \(ABCD\) одна из диагоналей в \(\sqrt{3}\) раз больше, чем другая диагональ. Найдите больший из углов этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба. Пусть \(AC : BD = \sqrt{3}\).



Так как \(AO = 0,5AC\), а \(BO = 0,5BD\), то \(AO : BO = \sqrt{3}\), тогда \[\mathrm{tg}\, \angle ABO = \sqrt{3}\,,\] следовательно, \(\angle ABO = 60^\circ\), тогда \(\angle ABC = 2\angle ABO = 120^\circ\).

\(\angle BCD = 60^\circ < \angle ABC\), таким образом, больший из углов ромба \(ABCD\) равен \(120^\circ\).

Ответ: 120

1 .... 3 4 5