Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Правильный шестиугольник (страница 2)

Правильный шестиугольник - выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.


 

\(\blacktriangleright\) Каждый угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

 

\(\blacktriangleright\) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на \(6\) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \[S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\). Найдите большую сторону треугольника \(AOK\), где \(K\) – середина стороны \(BC=\sqrt7\) шестиугольника \(ABCDEF\).

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, \(AO\) – радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, \(AB=AO=\sqrt7\).

 

Т.к. \(\triangle AOB\) – правильный, то \(\angle AOB=60^\circ\). \(\triangle BOC\) также правильный. Т.к. по условию \(OK\) – медиана в правильном \(\triangle BOC\), то она и биссектриса, то есть \(\angle BOK=\frac12\cdot 60^\circ=30^\circ\). Таким образом, \(\angle AOK=90^\circ\), то есть \(\triangle AOK\) – прямоугольный.


 

Следовательно, большая сторона в \(\triangle AOK\) – это гипотенуза \(AK\). По теореме Пифагора из \(\triangle BOK\) (\(OK\) также является в нем высотой):

\[OK=\sqrt{BO^2-BK^2}=\sqrt{(\sqrt7)^2-\left(\dfrac{\sqrt7}2\right)^2}= \dfrac{\sqrt3}2\cdot \sqrt7\]

Таким образом, по теореме Пифагора из \(\triangle AOK\):

\[AK=\sqrt{AO^2+OK^2}=\sqrt{(\sqrt7)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}2\cdot \sqrt7\right)^2}= \dfrac72=3,5.\]

Ответ: 3,5