Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Правильный шестиугольник (страница 2)

Правильный шестиугольник - выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.


 

\(\blacktriangleright\) Каждый угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

 

\(\blacktriangleright\) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на \(6\) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \[S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного шестиугольника \(ABCDEF\) равна \(\sqrt[4]{3}\). Найдите его площадь.

Добавить задание в избранное

Пусть \(O\) – центр описанной около \(ABCDEF\) окружности



тогда треугольники \(AOF\), \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOE\), \(EOF\) – равносторонние и все они попарно равны.
\[S_{\triangle{AOF}} = 0,5 AF^2 \cdot \sin{60^{\circ}} = \dfrac{AF^2\sqrt{3}}{4}, \qquad\qquad S_{ABCDEF} = 6\cdot S_{\triangle{AOF}} = \dfrac{3\sqrt{3}AF^2}{2}.\] В данной задаче \(S_{ABCDEF} = 6\cdot S_{\triangle{AOF}} = \dfrac{3\sqrt{3}AF^2}{2} = 4,5\).

Ответ: 4,5

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной \(\sqrt{108}\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим правильный шестиугольник \(ABCDFE\) и в нем треугольник \(ABC\). Параллельными сторонами являются пары \(AB\) и \(DF\), \(BC\) и \(FE\), \(CD\) и \(EA\).
Помним, что угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).


 

\(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB=BC\,\)), следовательно, \(\angle BAC=0,5\cdot (180^\circ-120^\circ)=30^\circ\). Таким образом, \(\angle CAE=120^\circ-30^\circ=90^\circ\).

 

Следовательно, \(AC\) – расстояние между сторонами \(AE\) и \(CD\) (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми – отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем \(AC\) по теореме косинусов (\(AB=BC=a=\sqrt{108}\)):

 

\(AC^2=a^2+a^2-2a^2\cdot \cos120^\circ=2a^2(1-\cos120^\circ)=2\cdot 108\cdot \left(1+\frac12\right)=3\cdot 108 \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad AC=\sqrt{3\cdot 108}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 36}=3\cdot 6=18.\)

Ответ: 18

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\). Во сколько раз площадь этого шестиугольника больше площади треугольника \(AOK\), где \(K\) – середина стороны \(BC\).

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, \(AO\) – радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, \(AB=AO=x\).

 

Т.к. \(\triangle AOB\) – правильный, то \(\angle AOB=60^\circ\). \(\triangle BOC\) также правильный. Т.к. по условию \(OK\) – медиана в правильном \(\triangle BOC\), то она и биссектриса, то есть \(\angle BOK=\frac12\cdot 60^\circ=30^\circ\). Таким образом, \(\angle AOK=90^\circ\), то есть \(\triangle AOK\) – прямоугольный.


 

Следовательно, \[S_{\triangle AOK}=\dfrac12\cdot AO\cdot OK=\dfrac x2\cdot OK\]

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:

\[S_{ABCDEF}=6\cdot \dfrac12\cdot BC\cdot OK=6\cdot \dfrac x2\cdot OK\]

Таким образом, \[\dfrac{S_{ABCDEF}}{S_{\triangle AOK}}=6.\]

Ответ: 6

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\). Найдите большую сторону треугольника \(AOK\), где \(K\) – середина стороны \(BC=\sqrt7\) шестиугольника \(ABCDEF\).

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, \(AO\) – радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, \(AB=AO=\sqrt7\).

 

Т.к. \(\triangle AOB\) – правильный, то \(\angle AOB=60^\circ\). \(\triangle BOC\) также правильный. Т.к. по условию \(OK\) – медиана в правильном \(\triangle BOC\), то она и биссектриса, то есть \(\angle BOK=\frac12\cdot 60^\circ=30^\circ\). Таким образом, \(\angle AOK=90^\circ\), то есть \(\triangle AOK\) – прямоугольный.


 

Следовательно, большая сторона в \(\triangle AOK\) – это гипотенуза \(AK\). По теореме Пифагора из \(\triangle BOK\) (\(OK\) также является в нем высотой):

\[OK=\sqrt{BO^2-BK^2}=\sqrt{(\sqrt7)^2-\left(\dfrac{\sqrt7}2\right)^2}= \dfrac{\sqrt3}2\cdot \sqrt7\]

Таким образом, по теореме Пифагора из \(\triangle AOK\):

\[AK=\sqrt{AO^2+OK^2}=\sqrt{(\sqrt7)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}2\cdot \sqrt7\right)^2}= \dfrac72=3,5.\]

Ответ: 3,5