Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Введение в координатную плоскость (страница 2)

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\). Тогда длина отрезка \(A_1A_2\) равна:
\[\Large{A_1A_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\]

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной система координат даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\).
Если \(O\) – середина отрезка \(A_1A_2\), то:
\[\Large{O\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)}\]

Задание 8 #3099
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На координатной плоскости с заданной прямоугольной системой координат даны две точки \(A(2;2)\) и \(B(8;8)\). Назовем точку особенной, если она является одной из вершин какого-то квадрата с вершинами в \(A\) и \(B\).
Найдите сумму абсцисс и ординат всех особенных точек.

Добавить задание в избранное

Точки \(A\) и \(B\) могут быть как соседними, так и противоположными вершинами квадрата. Таким образом, можно построить три квадрата: \[ABCD, \quad ABFE, \quad AGBH.\]

Заметим, что \(AH=BH=6\). Следовательно, \(BG=6\). Тогда точка \(H\) имеет координаты \((8;2)\), а точка \(G\) имеет координаты \((2;8)\).
Заметим, что \(AH\) – половина диагонали квадрата \(ABFE\). Следовательно, \(AH=HF=6\). Аналогично \(BH=HE=6\). Тогда имеем: \(F(14;2)\), \(E(8;-4)\).
Аналогично находим \(C(2;14)\), \(D(-4;8)\).
Таким образом, получили особенные точки: \(A, B, C, D, E, F, G, H\). Тогда в ответ нужно записать: \[\big(-4+2+2+2+8+8+8+14\big)+\big(8+2+8+14+8+2+2-4\big)=40+40=80.\]

Ответ: 80

Задание 9 #2924
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((-1; 1)\), длина отрезка \(MN\) равна 13, абсцисса точки \(N\) равна 4. Найдите ординату точки \(N\), если известно, что она отрицательна.

Добавить задание в избранное





Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\),
тогда для отрезка \(MN\): \(\sqrt{(-1 - 4)^2 + (1 - y_N)^2} = 13\), где \(y_N\) – ордината точки \(N\).
\((1 - y_N)^2 = 144\), откуда \(y_{N_1} = -11, \ y_{N_2} = 13\).
Так как ордината точки \(N\) отрицательна, то
\(y_N = -11\).

Ответ: -11

Задание 10 #668
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((10; 15)\), точка \(N\) имеет координаты \((13; 11)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное





Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(10 - 13)^2 + (15 - 11)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 11 #669
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((1; 2 + a)\), точка \(N\) имеет координаты \((4; -2 + a)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(1 - 4)^2 + (2 + a + 2 - a)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 12 #670
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((\sqrt{3}; \sqrt{13} + \pi)\), точка \(N\) имеет координаты \((0; \pi)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (\sqrt{13} + \pi - \pi)^2} = 4\).

Ответ: 4

Задание 13 #671
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((3; 7)\), точка \(N\) имеет координаты \((5; 13)\). Найдите произведение координат середины отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное





Середина отрезка с концами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) имеет координаты \[\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right).\] Середина отрезка \(MN\) имеет координаты \((4; 10)\), тогда произведение её координат равно \(4\cdot 10 = 40\).

Ответ: 40