Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Введение в координатную плоскость (страница 2)

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной системе координат \(Oxy\) даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\). Тогда длина отрезка \(A_1A_2\) равна:
\[\Large{A_1A_2=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\]

\(\blacktriangleright\) В прямоугольной система координат даны точки \(A_1(x_1;y_1)\) и \(A_2(x_2;y_2)\).
Если \(O\) – середина отрезка \(A_1A_2\), то:
\[\Large{O\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)}\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На координатной плоскости с заданной прямоугольной системой координат даны две точки \(A(2;2)\) и \(B(8;8)\). Назовем точку особенной, если она является одной из вершин какого-то квадрата с вершинами в \(A\) и \(B\).
Найдите сумму абсцисс и ординат всех особенных точек.

Добавить задание в избранное

Точки \(A\) и \(B\) могут быть как соседними, так и противоположными вершинами квадрата. Таким образом, можно построить три квадрата: \[ABCD, \quad ABFE, \quad AGBH.\]

Заметим, что \(AH=BH=6\). Следовательно, \(BG=6\). Тогда точка \(H\) имеет координаты \((8;2)\), а точка \(G\) имеет координаты \((2;8)\).
Заметим, что \(AH\) – половина диагонали квадрата \(ABFE\). Следовательно, \(AH=HF=6\). Аналогично \(BH=HE=6\). Тогда имеем: \(F(14;2)\), \(E(8;-4)\).
Аналогично находим \(C(2;14)\), \(D(-4;8)\).
Таким образом, получили особенные точки: \(A, B, C, D, E, F, G, H\). Тогда в ответ нужно записать: \[\big(-4+2+2+2+8+8+8+14\big)+\big(8+2+8+14+8+2+2-4\big)=40+40=80.\]

Ответ: 80

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((-1; 1)\), длина отрезка \(MN\) равна 13, абсцисса точки \(N\) равна 4. Найдите ординату точки \(N\), если известно, что она отрицательна.

Добавить задание в избранное





Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\),
тогда для отрезка \(MN\): \(\sqrt{(-1 - 4)^2 + (1 - y_N)^2} = 13\), где \(y_N\) – ордината точки \(N\).
\((1 - y_N)^2 = 144\), откуда \(y_{N_1} = -11, \ y_{N_2} = 13\).
Так как ордината точки \(N\) отрицательна, то
\(y_N = -11\).

Ответ: -11

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((10; 15)\), точка \(N\) имеет координаты \((13; 11)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное





Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(10 - 13)^2 + (15 - 11)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((1; 2 + a)\), точка \(N\) имеет координаты \((4; -2 + a)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(1 - 4)^2 + (2 + a + 2 - a)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((\sqrt{3}; \sqrt{13} + \pi)\), точка \(N\) имеет координаты \((0; \pi)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (\sqrt{13} + \pi - \pi)^2} = 4\).

Ответ: 4

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((3; 7)\), точка \(N\) имеет координаты \((5; 13)\). Найдите произведение координат середины отрезка \(MN\).

Добавить задание в избранное





Середина отрезка с концами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) имеет координаты \[\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right).\] Середина отрезка \(MN\) имеет координаты \((4; 10)\), тогда произведение её координат равно \(4\cdot 10 = 40\).

Ответ: 40