На координатной плоскости с заданной прямоугольной системой координат даны две точки \(A(2;2)\) и \(B(8;8)\). Назовем точку особенной, если она является одной из вершин какого-то квадрата с вершинами в \(A\) и \(B\).
Найдите сумму абсцисс и ординат всех особенных точек.
Точки \(A\) и \(B\) могут быть как соседними, так и противоположными вершинами квадрата. Таким образом, можно построить три квадрата: \[ABCD, \quad ABFE, \quad AGBH.\]
Заметим, что \(AH=BH=6\). Следовательно, \(BG=6\). Тогда точка \(H\) имеет координаты \((8;2)\), а точка \(G\) имеет координаты \((2;8)\).
Заметим, что \(AH\) – половина диагонали квадрата \(ABFE\). Следовательно, \(AH=HF=6\). Аналогично \(BH=HE=6\). Тогда имеем: \(F(14;2)\), \(E(8;-4)\).
Аналогично находим \(C(2;14)\), \(D(-4;8)\).
Таким образом, получили особенные точки: \(A, B, C, D, E, F, G, H\). Тогда в ответ нужно записать: \[\big(-4+2+2+2+8+8+8+14\big)+\big(8+2+8+14+8+2+2-4\big)=40+40=80.\]
Ответ: 80