Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника (страница 3)

В прямоугольном треугольнике:

 

\(\blacktriangleright\) Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\sin \alpha = \dfrac{a}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\cos \alpha = \dfrac{b}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[{\large{\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}}}\]

\(\blacktriangleright\) Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему: \[{\large{\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{b}{a}}}\]


 

Важные формулы:
\[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}\, 0^\circ \phantom{000}& \phantom{000}\, 30^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 60^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 90^\circ \phantom{000}\\[1ex] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2 & 1\\[1ex] \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12 & 0\\[1ex] \hline \mathrm{tg} & 0 & \frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3 & \text{не сущ.}\\[1ex] \hline \mathrm{ctg}& \text{не сущ.} &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3 & 0\\[1ex] \hline \end{array}\]

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, \(BC=8\), \(BH=4\). Найдите \(\sin\angle A\).

Добавить задание в избранное


 

Из \(\triangle BCH\): \[\sin\angle BCH=\dfrac{BH}{BC}=0,5\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\sin\angle A=\sin\angle BAC=0,5\).

Ответ:

0,5

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH=4\) – высота, \(BC=\sqrt{17}\). Найдите \(\mathrm{tg}\,\angle A\).

Добавить задание в избранное


 

По теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[BH=\sqrt{17-16}=1\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle BCH=\dfrac{BH}{CH}=0,25\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{tg}\,\angle BAC=0,25\).

Ответ:

0,25

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB=3\), \(AD=21\), \(\sin\angle A=\dfrac67\). Найдите большую высоту параллелограмма.

Добавить задание в избранное


 

Проведем высоты \(BK\) и \(DH\). Тогда из \(\triangle ADH\) и \(\triangle ABK\): \[\sin\angle A=\dfrac{DH}{AD}\quad {\small{и}}\quad \sin\angle A=\dfrac{BK}{AB}\] откуда \[DH=AD\sin\angle A\quad {\small{и}}\quad BK=AB\sin\angle A\] Так как \(AD>AB\), то \(DH\) – большая высота, следовательно, \[DH=21\cdot \dfrac67=18\]

Ответ:

18

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(51\) и \(65\). Боковые стороны равны \(25\). Найдите синус острого угла трапеции.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим рисунок:


 

Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=7\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABH\): \[BH=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{(25-7)(25+7)}=\sqrt{18\cdot 32}=3\cdot 8=24\] Тогда из \(\triangle ABH\) \[\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{24}{25}=0,96\]

Ответ:

0,96

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Основания равнобедренной трапеции равны \(43\) и \(73\). Косинус острого угла трапеции равен \(\dfrac57\). Найдите боковую сторону трапеции.

Добавить задание в избранное


 

Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=15\). Тогда из \(\triangle ABH\): \[\dfrac57=\cos\angle A=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=21\]

Ответ:

21

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(AC=24\), \(BC=7\). Найдите \(\sin \angle A\).

Добавить задание в избранное


 

Так как по определению \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}\] то нужно найти \(AB\). По теореме Пифагора \(AB=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=25\), следовательно, \[\sin \angle A=\dfrac{7}{25}=0,28\]

Ответ:

0,28

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(YES\) с гипотенузой \(YE\). Найдите \(\cos\angle E\), если \(\sin \angle Y=0,8\).

Добавить задание в избранное


 

По определению синуса и косинуса: \[\sin \angle Y=\dfrac{ES}{YE} \qquad \text{и} \qquad \cos \angle E=\dfrac{ES}{YE}\]

Таким образом мы видим, что \(\cos \angle E=\sin \angle Y=0,8.\)

Ответ: 0,8

1 2 3 4 5