Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на дробно рациональные выражения (страница 2)

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \((289z^2 - 1) \cdot \left(\dfrac{1}{1 - 17z} + \dfrac{1}{17z + 1}\right)\) при тех значениях \(z\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

Используя формулу для разности квадратов, для тех \(z\), для которых выражение имеет смысл, получим:

\[\begin{aligned} &(289z^2 - 1) \cdot \left(\dfrac{1}{1 - 17z} + \dfrac{1}{17z + 1}\right) = (17z - 1)(17z + 1) \cdot \left(\dfrac{1}{1 - 17z} + \dfrac{1}{17z + 1}\right) =\\ &= \dfrac{(17z - 1)(17z + 1)}{1 - 17z} + \dfrac{(17z - 1)(17z + 1)}{17z + 1} = -17z - 1 + 17z - 1 = -2. \end{aligned}\]

Ответ: -2

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(x^3 + y^3)\cdot(x - y)}{x^2 - xy + y^2} - x^2 + y^2\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{(x^3 + y^3)\cdot(x - y)}{x^2 - xy + y^2} - x^2 + y^2 = \frac{(x + y)\cdot(x^2 - xy + y^2)\cdot(x - y)}{x^2 - xy + y^2} - x^2 + y^2 =\\= (x + y)\cdot(x - y) - x^2 + y^2 = x^2 - y^2 - x^2 + y^2 = 0\end{gathered}\]

Ответ: 0

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(9x^2 - 4)\cdot(81x^4 + 36x^2 + 16)}{27x^3 - 8} - 27x^3\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{(9x^2 - 4)\cdot(81x^4 + 36x^2 + 16)}{27x^3 - 8} - 27x^3 = \frac{(9x^2 - 4)\cdot((9x^2)^2 + 9x^2\cdot4 + 4^2)}{27x^3 - 8} - 27x^3 =\\= \frac{(9x^2)^3 - 4^3}{27x^3 - 8} - 27x^3 = \frac{(3^2x^2)^3 - (2^2)^3}{27x^3 - 8} - 27x^3 = \frac{(3^3x^3)^2 - (2^3)^2}{27x^3 - 8} - 27x^3 =\\= \frac{(27x^3)^2 - (8)^2}{27x^3 - 8} - 27x^3 = \frac{(27x^3 + 8)\cdot(27x^3 - 8)}{27x^3 - 8} - 27x^3 = 27x^3 + 8 - 27x^3 = 8\end{gathered}\]

Ответ: 8

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{3a + 3 + na + n}{(5n + 15)\cdot(2a + 2)}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{3a + 3 + na + n}{(5n + 15)\cdot(2a + 2)} = \frac{3(a + 1) + n(a + 1)}{5(n + 3)\cdot2(a + 1)} = \frac{(a + 1)\cdot(n + 3)}{10(n + 3)\cdot(a + 1)} = \frac{1}{10} = 0,1\end{gathered}\]

Ответ: 0,1

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{x^3 + 28 - 14x^2 - 2x}{(\sqrt2 - x)\cdot(\sqrt2 + x)} + x\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{x^3 + 28 - 14x^2 - 2x}{(\sqrt2 - x)\cdot(\sqrt2 + x)} + x = \frac{x^2(x - 14) - 2(x - 14)}{2 - x^2} + x =\\= \frac{(x - 14)\cdot(x^2 - 2)}{2 - x^2} + x = -\frac{(x - 14)\cdot(2 - x^2)}{2 - x^2} + x =\\= -(x - 14) + x = -x + 14 + x = 14\end{gathered}\]

Ответ: 14

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{2\pi - 2x^2}{(\sqrt{\pi} - x)(\sqrt{\pi} + x)}\) при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл.

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{2\pi - 2x^2}{(\sqrt{\pi} - x)(\sqrt{\pi} + x)} = \dfrac{2(\pi - x^2)}{(\sqrt{\pi})^2 - x^2} = \dfrac{2(\pi - x^2)}{\pi - x^2} = 2\] – при тех значениях \(x\), при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\), при которых исходное выражение имеет смысл.

Ответ: 2

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите \(11u + 9v + \dfrac{15}{2}\), если \(\dfrac{3 - 19u - 6v}{5u + 4 + 6v} = 5\) и \(6v + 5u + 4 \neq 0\).

Добавить задание в избранное

При \(6v + 5u + 4 \neq 0\) \[\dfrac{3 - 19u - 6v}{5u + 4 + 6v} = 5\] равносильно \[3 - 19u - 6v = 5(5u + 6v + 4),\] откуда \(44u + 36v + 30 = 13\), что равносильно \(4(11u + 9v + 7,5) = 4 \cdot 3,25\).

Итого: \(11u + 9v + \dfrac{15}{2} = 3,25\).

Ответ: 3,25

1 2 3 .... 5