9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:
\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]
\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]
\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).
Найдите \(p(x)+p(6-x)\), если \(p(x)=\dfrac{x(6-x)}{x-3}\) при \(x\ne 3\).
\(p(6-x)=\dfrac{(6-x)(6-(6-x))}{(6-x)-3}=\dfrac{(6-x)x}{3-x}\), следовательно, \[p(x)+p(6-x)=\dfrac{x(6-x)}{x-3}+\dfrac{(6-x)x}{3-x}= \dfrac{x(6-x)}{x-3}-\dfrac{x(6-x)}{x-3}=0\]
Ответ: 0
Найдите \(\dfrac{q(\frac{1}{t})}{q(-t)}\), где \(q(t) = \left(7t - \dfrac{9}{t}\right)\left(\dfrac{7}{t} - 9t\right)\) при тех значениях \(t\), при которых выражение имеет смысл
При всех \(t\), при которых имеет смысл искомое отношение, имеем: \[q(-t) = \left(-7t + \dfrac{9}{t}\right)\left(-\dfrac{7}{t} + 9t\right) = q(t),\qquad\qquad q\left(\frac{1}{t}\right) = \left(\dfrac{7}{t} - 9t\right)\left(7t - \dfrac{9}{t}\right) = q(t),\] тогда при тех же \(t\): \(\dfrac{q(\frac{1}{t})}{q(-t)} = \dfrac{q(t)}{q(t)} = 1.\)
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\dfrac{31\cdot (x - 2017)^{2017}}{(x - 2017)^{2}}\) при \(x = 2018\).
При тех \(x\), при которых знаменатель отличен от нуля: \[\dfrac{31\cdot (x - 2017)^{2017}}{(x - 2017)^{2}} = 31\cdot (x - 2017)^{2017 - 2} = 31\cdot (x - 2017)^{2015}.\] При \(x = 2018\) имеем: \(31\cdot (2018 - 2017)^{2015} = 31\cdot 1^{2015} = 31\cdot 1 = 31\).
Ответ: 31
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(bc + 3ac - 2ab - 6a^2)\cdot(c + 2a)}{(2b + 6a)\cdot(c^2 - 4a^2)}\).
\[\begin{gathered} \frac{(bc + 3ac - 2ab - 6a^2)\cdot(c + 2a)}{(2b + 6a)\cdot(c^2 - 4a^2)} = \frac{(c(b + 3a) - 2a(b + 3a))\cdot(c + 2a)}{2(b + 3a)\cdot(c - 2a)\cdot(c + 2a)} =\\= \frac{(b + 3a)\cdot(c - 2a)\cdot(c + 2a)}{2(b + 3a)\cdot(c - 2a)\cdot(c + 2a)} = \frac{1}{2} = 0,5\end{gathered}\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \[\dfrac{a + 15}{ab + 30} + \dfrac{a^2 + 7}{a^b + b + 5}\] при \(a = \sqrt[3]{\pi}\), \(b = 2\).
Подставим \(b = 2\) в исходное выражение, учитывая, что \(a > 0\): \[\dfrac{a + 15}{2a + 30} + \dfrac{a^2 + 7}{a^2 + 7} = \dfrac{a + 15}{2(a + 15)} + 1 = 1,5\]
Ответ: 1,5
Упростите выражение \[1:\left(\dfrac{a^4-a^2-2a-1}{a^3-2a^2+1}:\dfrac{a^4+2a^3-a-2}{1+\frac4a+\frac4{a^2}}\right):a^2\]
и найдите его значение при \(a=98\).
Преобразуем выражение в скобках: \[\begin{aligned} &\dfrac{a^4-a^2-2a-1}{a^3-2a^2+1}\cdot \dfrac{1+\frac4a+\frac4{a^2}}{a^4+2a^3-a-2}=\dfrac{a^4-(a+1)^2}{a^3-2a^2+a-a+1}\cdot \dfrac{\frac{a^2+4a+4}{a^2}}{a^3(a+2)-(a+2)}=\\[4ex] &=\dfrac{(a^2-(a+1))(a^2+a+1)}{a(a^2-2a+1)-(a-1)}\cdot \dfrac{(a+2)^2}{a^2(a+2)(a^3-1)}=\dfrac{(a^2-a-1)(a^2+a+1)}{a(a-1)^2-(a-1)}\cdot \dfrac{(a+2)^2}{a^2(a+2)(a-1)(a^2+a+1)}=\\[4ex] &=\dfrac{(a^2-a-1)(a^2+a+1)(a+2)^2}{(a-1)(a^2-a-1)a^2(a+2)(a-1)(a^2+a+1)}= \dfrac{a+2}{(a-1)^2a^2} \end{aligned}\]
Тогда искомое выражение примет вид: \[1:\dfrac{a+2}{(a-1)^2a^2}:a^2=\dfrac{(a-1)^2a^2}{a+2}:a^2=\dfrac{(a-1)^2}{a+2}\]
Следовательно, при \(a=98\): \[\dfrac{97^2}{100}=\dfrac{9409}{100}=94,09\]
Ответ: 94,09
Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\frac{a - 3}{3a^2b}\right)^2:\left(\frac{9 - a^2}{18a^3b}:\frac{a^2b + 3ab}{2a - 6}\right)\).
\[\begin{gathered} \left(\frac{a - 3}{3a^2b}\right)^2:\left(\frac{9 - a^2}{18a^3b}:\frac{a^2b + 3ab}{2a - 6}\right) = \left(\frac{a - 3}{3a^2b}\right)^2:\left(\frac{9 - a^2}{18a^3b}\cdot\frac{2a - 6}{a^2b + 3ab}\right) =\\= \left(\frac{a - 3}{3a^2b}\right)^2:\left(\frac{(3 - a)\cdot(3 + a)}{18a^3b}\cdot\frac{2(a - 3)}{ab(a + 3)}\right) = \frac{(a - 3)^2}{9a^4b^2}:\left(-\frac{(a - 3)^2}{9a^4b^2}\right) =\\= \frac{(a - 3)^2}{9a^4b^2}\cdot\left(-\frac{9a^4b^2}{(a - 3)^2}\right) = -1\end{gathered}\]
Ответ: -1
