Задачи на дробно рациональные выражения (страница 5)

Т.к. по формуле квадрата суммы \(\left(x+\dfrac1x\right)^2=x^2+2+\dfrac 1{x^2}\), то \(x+\dfrac1x=\pm \sqrt{7+2}=\pm 3\). Т.к. \(x>0\), то \(x+\dfrac1x=3\).

Тогда по формуле куба суммы

\[\left(x+\dfrac1x\right)^3={\color{blue}{27}}=x^3+3x^2\dfrac1x+3x\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x^3}= {\color{blue}{x^3+\dfrac1{x^3}+3\left(x+\dfrac1x\right)}},\]

откуда \(x^3+\dfrac1{x^3}=27-3\left(x+\dfrac1x\right)=27-9=18\).

Значит, \[\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)\cdot\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)= {\color{blue}{7\cdot 18}}=x^5+x+\dfrac1x+\dfrac1{x^5}={\color{blue}{x^5+\dfrac1{x^5}+3}}\]

Следовательно, \(x^5+\dfrac1{x^5}=7\cdot 18-3=123\).

Ответ: 123

Так как область значений \(f(x)\) – множество всех действительных не положительных чисел, то выражение будет иметь смысл только при \(f(x) = 0\) (иначе \(\sqrt{f(x)}\) не имеет смысла).
При \(f(x) = 0\) имеем: \[\dfrac{2\sqrt{3}}{(- \sqrt[4]{48})\cdot\sqrt[4]{48}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{- \sqrt{48}} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = -0,5.\]

Ответ: -0,5

Чтобы выражение имело смысл необходимо, чтобы \(\sqrt{-g(x)}\) имело смысл, то есть нас не интересуют те \(x\), в которых \(g(x) > 0\). С учётом этого модуль раскрывается однозначно и выражение принимает вид: \[-g(x) - g(x)\cdot\dfrac{g(x) + 4}{(\sqrt{-g(x)} - 2)(\sqrt{-g(x)} + 2)}.\] При тех \(x\), при которых оно имеет смысл, получим: \[-g(x) - g(x)\cdot\dfrac{g(x) + 4}{-g(x) - 4} = -g(x) + g(x) = 0.\]

Ответ: 0

Пусть \(2x-1=a\), тогда \(x=\frac{a+1}2\). Значит,

\[F(a)=4\cdot \dfrac{a+1}2-7=2a-5\]

Тогда \(F(g(x))=2g(x)-5=x^3\), откуда \(g(x)=\frac12\left(x^3+5\right)\).

Значит, \(g(1)=\frac12\left(1+5\right)=3\).

Ответ: 3

Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю, а затем поделим полученные дроби:

\(\dfrac{(6x^2+5x-1)(x+1)+x+4}{x+1}\div \dfrac{(3x-2)(x+1)+3}{x+1}= \)  

\(=\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{x+1}\div \dfrac{3x^2+x+1}{x+1}=\)  

\(=\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{x+1}\cdot \dfrac{x+1}{3x^2+x+1}= \)  

\(=\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{3x^2+x+1}\)  

Попробуем разделить в столбик числитель этой дроби на знаменатель:

\[\begin{array}{rr|l} 6x^3+11x^2+5x+3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 3x^2+x+1 \qquad}\\ \underline{6x^3+\,2x^2+2x} \phantom{00000}&&\negthickspace \qquad \quad 2x+3\\[-3pt] 9x^2+3x+3\phantom{0}&&\\ \underline{9x^2+3x+3}\phantom{0}&&\\[-3pt] 0\ \ &&\\ \end{array}\]

Т.к. остаток равен нулю, то это значит, что числитель дроби можно представить в виде \(6x^3+11x^2+5x+3=(2x+3)(3x^2+x+1)\). Таким образом:

\[\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{3x^2+x+1}=\dfrac{(2x+3)(3x^2+x+1)}{3x^2+x+1}=2x+3\]

Значит, значение этого выражения при \(x=2017\) равно

\[2\cdot 2017+3=4037\]

Ответ: 4037

Сделаем преобразования, учитывая, что \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\):

\(\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x(y-3x)}{(y-3x)(y+3x)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x}{y+3x}-2=\)  

\(=\dfrac{y^2-4xy-x^2+10x(x+y)}{(y+3x)(x+y)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2+10x^2+10xy}{(y+3x)(x+y)}-2= \)  

\(=\dfrac{y^2+6xy+9x^2}{(y+3x)(x+y)}-2= \dfrac{(y+3x)^2}{(y+3x)(x+y) }-2=\dfrac{y+3x}{x+y}-2\).  

Заметим, что равенство \(\dfrac{y+x}x=8\) можно переписать в виде \(y+x=8x\) или \(y=7x\) (при условии \(x\ne 0\)). Заметим, что при этих значениях действительно \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\).
Следовательно, выражение примет вид:

\[\dfrac{7x+3x}{x+7x}-2=\dfrac{10x}{8x}-2=\dfrac54-2=-0,75\]

Ответ: -0,75

По формуле разности квадратов \(49a^2-9=(7a-3)(7a+3)\). Следовательно, выражение при всех \(a\ne -\frac37; \frac37\) можно переписать в виде: \[(7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac{7a+3-(7a-3)}{(7a-3)(7a+3)}= (7a-3)(7a+3)\cdot \dfrac6{(7a-3)(7a+3)}=6\]

Ответ: 6