Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на дробно рациональные выражения (страница 5)

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[\dfrac{2\sqrt{3} - 0,25\cdot f(x)}{(\sqrt{f(x)} - \sqrt[4]{48})(\sqrt[4]{48} + \sqrt{f(x)})}\] при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл, если \(f(x)\) – функция, область значений которой – множество всех действительных не положительных чисел.

Добавить задание в избранное

Так как область значений \(f(x)\) – множество всех действительных не положительных чисел, то выражение будет иметь смысл только при \(f(x) = 0\) (иначе \(\sqrt{f(x)}\) не имеет смысла).
При \(f(x) = 0\) имеем: \[\dfrac{2\sqrt{3}}{(- \sqrt[4]{48})\cdot\sqrt[4]{48}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{- \sqrt{48}} = -\dfrac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = -0,5.\]

Ответ: -0,5

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[-g(x) + |g(x)|\cdot\dfrac{g(x) + 4}{(\sqrt{-g(x)} - 2)(\sqrt{-g(x)} + 2)}\] при тех значениях \(x\), при которых оно имеет смысл, если \(g(x)\) – функция, область значений которой – множество всех действительных чисел \(\mathbb{R}\).

Добавить задание в избранное

Чтобы выражение имело смысл необходимо, чтобы \(\sqrt{-g(x)}\) имело смысл, то есть нас не интересуют те \(x\), в которых \(g(x) > 0\). С учётом этого модуль раскрывается однозначно и выражение принимает вид: \[-g(x) - g(x)\cdot\dfrac{g(x) + 4}{(\sqrt{-g(x)} - 2)(\sqrt{-g(x)} + 2)}.\] При тех \(x\), при которых оно имеет смысл, получим: \[-g(x) - g(x)\cdot\dfrac{g(x) + 4}{-g(x) - 4} = -g(x) + g(x) = 0.\]

Ответ: 0

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(g(1)\), если \(F(2x-1)=4x-7\) и \(F(g(x))=x^3\).

Добавить задание в избранное

Пусть \(2x-1=a\), тогда \(x=\frac{a+1}2\). Значит,

\[F(a)=4\cdot \dfrac{a+1}2-7=2a-5\]

Тогда \(F(g(x))=2g(x)-5=x^3\), откуда \(g(x)=\frac12\left(x^3+5\right)\).

 

Значит, \(g(1)=\frac12\left(1+5\right)=3\).

Ответ: 3

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\left(6x^2+5x-1+\dfrac{x+4}{x+1}\right) \div \left(3x-2+\dfrac3{x+1}\right)\]

при \(x=2017\).

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Добавить задание в избранное

Приведем выражения в каждой скобке к общему знаменателю, а затем поделим полученные дроби:

 

\(\dfrac{(6x^2+5x-1)(x+1)+x+4}{x+1}\div \dfrac{(3x-2)(x+1)+3}{x+1}= \)  

\(=\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{x+1}\div \dfrac{3x^2+x+1}{x+1}=\)  

\(=\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{x+1}\cdot \dfrac{x+1}{3x^2+x+1}= \)  

\(=\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{3x^2+x+1}\)  

Попробуем разделить в столбик числитель этой дроби на знаменатель:

\[\begin{array}{rr|l} 6x^3+11x^2+5x+3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 3x^2+x+1 \qquad}\\ \underline{6x^3+\,2x^2+2x} \phantom{00000}&&\negthickspace \qquad \quad 2x+3\\[-3pt] 9x^2+3x+3\phantom{0}&&\\ \underline{9x^2+3x+3}\phantom{0}&&\\[-3pt] 0\ \ &&\\ \end{array}\]

Т.к. остаток равен нулю, то это значит, что числитель дроби можно представить в виде \(6x^3+11x^2+5x+3=(2x+3)(3x^2+x+1)\). Таким образом:

\[\dfrac{6x^3+11x^2+5x+3}{3x^2+x+1}=\dfrac{(2x+3)(3x^2+x+1)}{3x^2+x+1}=2x+3\]

Значит, значение этого выражения при \(x=2017\) равно

\[2\cdot 2017+3=4037\]

Ответ: 4037

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{xy-3x^2}{y^2-9x^2}-2\]

при \(\dfrac{y+x}{x}=8\).

Добавить задание в избранное

Сделаем преобразования, учитывая, что \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\):

 

\(\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x(y-3x)}{(y-3x)(y+3x)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{x}{y+3x}-2=\)  

\(=\dfrac{y^2-4xy-x^2+10x(x+y)}{(y+3x)(x+y)}-2= \dfrac{y^2-4xy-x^2+10x^2+10xy}{(y+3x)(x+y)}-2= \)  

\(=\dfrac{y^2+6xy+9x^2}{(y+3x)(x+y)}-2= \dfrac{(y+3x)^2}{(y+3x)(x+y) }-2=\dfrac{y+3x}{x+y}-2\).  

Заметим, что равенство \(\dfrac{y+x}x=8\) можно переписать в виде \(y+x=8x\) или \(y=7x\) (при условии \(x\ne 0\)). Заметим, что при этих значениях действительно \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\).
Следовательно, выражение примет вид:

\[\dfrac{7x+3x}{x+7x}-2=\dfrac{10x}{8x}-2=\dfrac54-2=-0,75\]

Ответ: -0,75