9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).
Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);
\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);
\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).
\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).
Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:
\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).
Найдите значение выражения \(\sqrt[4]{(7 - u)^2\cdot (-14u + u^2 + 49)}\), при \(u = 20172017\).
\(\sqrt[4]{(7 - u)^2\cdot (-14u + u^2 + 49)} = \sqrt[4]{(7 - u)^2\cdot (7 - u)^2} = \sqrt[4]{(7 - u)^4} = |7 - u| = |u - 7|\), что при \(u = 20172017\) равно \(20172010\).
Ответ: 20172010
Найдите значение выражения \(-w + \sqrt{1024 - 64w + w^2}\), при \(w > 100500\).
Выражение под корнем представим в виде полного квадрата: \[-w + \sqrt{1024 - 64w + w^2} = -w + \sqrt{(32 - w)^2} = -w +\lvert32 - w\rvert,\] что при \(w > 100500\) равносильно \(-w + (w - 32) = -32\).
Ответ: -32
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt{x}}\) при \(x = 16\).
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt[4]{x})^2 + \sqrt[4]{x}}{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{x})^2} = \frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + 1)}{(\sqrt[4]{x})^2(\sqrt[4]{x} + 1)} = \frac{\sqrt[4]{x}}{(\sqrt[4]{x})^2} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{1}{2} = 0,5\end{gathered}\]
Ответ: 0,5
Найдите \(\dfrac{\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right)}{2\phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right)}\), если \(\phi(z) = \sqrt[3]{3z^2 - 10z}\), \(z > 101\).
Подставим соответствующие выражения в качестве аргументов:
\(\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right) = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} - z\right)\left(3\left(\dfrac{5}{3} - z\right) - 10\right)} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} - z\right)3\left(-\dfrac{5}{3} - z\right)}\).
\(\phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right) = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} + z\right)\left(3\left(\dfrac{5}{3} + z\right) - 10\right)} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} + z\right)3\left(-\dfrac{5}{3} + z\right)}\).
Отсюда можно сделать вывод, что \(\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right) = \phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right)\) и значит при \(z\neq -\dfrac{5}{3}\), \(z\neq 0\) выполнено \[\dfrac{\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right)}{2\phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right)} = \dfrac{1}{2}.\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{(x + 2)^2 - 8x}}{2\sqrt{x} - 4:\sqrt{x}}:\sqrt{x}\) при \(0 < x < 2\).
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt{(x + 2)^2 - 8x}}{2\sqrt{x} - 4:\sqrt{x}}:\sqrt{x} = \frac{\sqrt{x^2 + 4x + 4 - 8x}}{\displaystyle 2\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} =\\= \frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{\displaystyle \frac{2x - 4}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = \frac{|x - 2|}{\displaystyle \frac{2\cdot(x - 2)}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = \frac{-(x - 2)}{\displaystyle \frac{2\cdot(x - 2)}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = -\frac{\sqrt{x}\cdot(x - 2)}{2\cdot(x - 2)}:\sqrt{x} =\\= - \frac{\sqrt{x}}{2}:\sqrt{x} = -\frac{1}{2} = -0,5\end{gathered}\]
Ответ: -0,5
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^2}}:\frac{\sqrt[3]{a^2 + ab + b^2}}{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}\) при \(a = 5\), \(b = 2\).
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^2}}:\frac{\sqrt[3]{a^2 + ab + b^2}}{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}} = \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^2}}\cdot\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{a^2 + ab + b^2}} =\\= \frac{(\sqrt{a^3})^2 - (\sqrt{b^3})^2}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^3}} = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b = 5 - 2 = 3\end{gathered}\]
Ответ: 3
Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a - 1}} + \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}}\right):\sqrt{a}\) при \(a > 1\).
\[\begin{gathered} \left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a - 1}} + \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}}\right):\sqrt{a} =\\= \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a} + \sqrt{a - 1})\cdot(\sqrt{a} - \sqrt{a - 1})} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a} - \sqrt{a - 1})\cdot(\sqrt{a} + \sqrt{a - 1})}\right):\sqrt{a} =\\= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1} + \sqrt{a} + \sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a - 1})^2}:\sqrt{a} =\\= \frac{2\sqrt{a}}{a - (a - 1)}:\sqrt{a} = \frac{2\sqrt{a}}{a - a + 1}:\sqrt{a} = \frac{2\sqrt{a}}{1}:\sqrt{a} = 2\sqrt{a}:\sqrt{a} = 2\end{gathered}\]
Ответ: 2
