Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные иррациональные выражения (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);

 

\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);

 

\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).

 

\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:

\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt[4]{(7 - u)^2\cdot (-14u + u^2 + 49)}\), при \(u = 20172017\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt[4]{(7 - u)^2\cdot (-14u + u^2 + 49)} = \sqrt[4]{(7 - u)^2\cdot (7 - u)^2} = \sqrt[4]{(7 - u)^4} = |7 - u| = |u - 7|\), что при \(u = 20172017\) равно \(20172010\).

Ответ: 20172010

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(-w + \sqrt{1024 - 64w + w^2}\), при \(w > 100500\).

Добавить задание в избранное

Выражение под корнем представим в виде полного квадрата: \[-w + \sqrt{1024 - 64w + w^2} = -w + \sqrt{(32 - w)^2} = -w +\lvert32 - w\rvert,\] что при \(w > 100500\) равносильно \(-w + (w - 32) = -32\).

Ответ: -32

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt{x}}\) при \(x = 16\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt[4]{x})^2 + \sqrt[4]{x}}{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{x})^2} = \frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + 1)}{(\sqrt[4]{x})^2(\sqrt[4]{x} + 1)} = \frac{\sqrt[4]{x}}{(\sqrt[4]{x})^2} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{1}{2} = 0,5\end{gathered}\]

Ответ: 0,5

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите \(\dfrac{\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right)}{2\phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right)}\), если \(\phi(z) = \sqrt[3]{3z^2 - 10z}\), \(z > 101\).

Добавить задание в избранное

Подставим соответствующие выражения в качестве аргументов:

 

\(\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right) = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} - z\right)\left(3\left(\dfrac{5}{3} - z\right) - 10\right)} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} - z\right)3\left(-\dfrac{5}{3} - z\right)}\).

\(\phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right) = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} + z\right)\left(3\left(\dfrac{5}{3} + z\right) - 10\right)} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{5}{3} + z\right)3\left(-\dfrac{5}{3} + z\right)}\).

 

Отсюда можно сделать вывод, что \(\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right) = \phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right)\) и значит при \(z\neq -\dfrac{5}{3}\), \(z\neq 0\) выполнено \[\dfrac{\phi\left(\dfrac{5}{3} - z\right)}{2\phi\left(z + \dfrac{5}{3}\right)} = \dfrac{1}{2}.\]

Ответ: 0,5

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{(x + 2)^2 - 8x}}{2\sqrt{x} - 4:\sqrt{x}}:\sqrt{x}\) при \(0 < x < 2\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{\sqrt{(x + 2)^2 - 8x}}{2\sqrt{x} - 4:\sqrt{x}}:\sqrt{x} = \frac{\sqrt{x^2 + 4x + 4 - 8x}}{\displaystyle 2\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} =\\= \frac{\sqrt{(x - 2)^2}}{\displaystyle \frac{2x - 4}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = \frac{|x - 2|}{\displaystyle \frac{2\cdot(x - 2)}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = \frac{-(x - 2)}{\displaystyle \frac{2\cdot(x - 2)}{\sqrt{x}}}:\sqrt{x} = -\frac{\sqrt{x}\cdot(x - 2)}{2\cdot(x - 2)}:\sqrt{x} =\\= - \frac{\sqrt{x}}{2}:\sqrt{x} = -\frac{1}{2} = -0,5\end{gathered}\]

Ответ: -0,5

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^2}}:\frac{\sqrt[3]{a^2 + ab + b^2}}{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}\) при \(a = 5\), \(b = 2\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^2}}:\frac{\sqrt[3]{a^2 + ab + b^2}}{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}} = \frac{\sqrt{a^3} + \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^2}}\cdot\frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}{\sqrt[3]{a^2 + ab + b^2}} =\\= \frac{(\sqrt{a^3})^2 - (\sqrt{b^3})^2}{\sqrt[3]{(a^2 + ab + b^2)^3}} = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a - b = 5 - 2 = 3\end{gathered}\]

Ответ: 3

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a - 1}} + \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}}\right):\sqrt{a}\) при \(a > 1\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \left(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a - 1}} + \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}}\right):\sqrt{a} =\\= \left(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a} + \sqrt{a - 1})\cdot(\sqrt{a} - \sqrt{a - 1})} + \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a} - \sqrt{a - 1})\cdot(\sqrt{a} + \sqrt{a - 1})}\right):\sqrt{a} =\\= \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a - 1} + \sqrt{a} + \sqrt{a - 1}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a - 1})^2}:\sqrt{a} =\\= \frac{2\sqrt{a}}{a - (a - 1)}:\sqrt{a} = \frac{2\sqrt{a}}{a - a + 1}:\sqrt{a} = \frac{2\sqrt{a}}{1}:\sqrt{a} = 2\sqrt{a}:\sqrt{a} = 2\end{gathered}\]

Ответ: 2

1 2 3 4