\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).

Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);

\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);

\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).

\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).

Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:

\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).

Задание 15 #1961

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right)\) при \(x = 4\frac{5}{7}\), \(y = 5\frac{2}{7}\).

Показать решение

\[\begin{gathered} \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right) = \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{y} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right) =\\= (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = x + y = 4\frac{5}{7} + 5\frac{2}{7} = 10\end{gathered}\]

Ответ: 10

Задание 16 #1965

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}} - \sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2\) при \(\displaystyle a = \frac{1}{2}\), \(b = 0,1\).

Показать решение

\[\begin{gathered} \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}} - \sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 =\\= \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 - 2\cdot\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}}\cdot\sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}} + \left(\sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 =\\= a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2} - 2\cdot\sqrt{(a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2})\cdot(a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2})} + a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2} =\\= 2a^2 - 2\cdot\sqrt{(a^2)^2 - (a\sqrt{a^2 - b^2})^2} = 2a^2 - 2\cdot\sqrt{a^4 - a^2\cdot(a^2 - b^2)} =\\= 2a^2 - 2\cdot\sqrt{a^4 - a^4 + a^2b^2} = 2a^2 - 2\cdot\sqrt{(ab)^2} = 2a^2 - 2ab = 2a\cdot(a - b) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2} - 0,1\right) = 0,5 - 0,1 = 0,4\end{gathered}\]

Ответ: 0,4

Задание 17 #1966

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2)\) при \(p = 7\), \(q = 2\).

Показать решение

\[\begin{gathered} (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2) =\\= (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p})^2 - 2\cdot\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q} + (\sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p})^2 +2\cdot\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q} + (\sqrt[4]{q})^2) =\\= (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{p} + \sqrt{q}) = (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(2\sqrt{p} + 2\sqrt{q}) =\\= 2\cdot(\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(\sqrt{p} + \sqrt{q}) = 2\cdot((\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2) = 2\cdot(p - q) = 2\cdot(7 - 2) = 2\cdot5 = 10\end{gathered}\]

Ответ: 10

Задание 18 #521

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{-6s + 9 + s^2} + \sqrt{s^2 - 26s + 169}\), при \(3 < s < 12\).

Показать решение

В подкоренных выражениях можно узнать полные квадраты: \[\sqrt{-6s + 9 + s^2} + \sqrt{169 - 26s + s^2} = \sqrt{(s - 3)^2} + \sqrt{(s - 13)^2} = \lvert s - 3 \rvert + \lvert s - 13 \rvert.\] Вспомнив, что \(3 < s < 12\), раскроем эти модули: \[\lvert s - 3 \rvert + \lvert s - 13 \rvert = s - 3 - (s - 13) = 10.\]

Ответ: 10

Задание 19 #1898

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1+\sqrt[16]a)(1+\sqrt[32]a)(1-\sqrt[32]a)\]

если \(a=1001\).

Показать решение

Применяя формулу разности квадратов \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\), данное выражение мы можем преобразовать следующим образом:

\((1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1+\sqrt[16])(1-\sqrt[16]a)=(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1-\sqrt[8]a)=\)

\(=(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1-\sqrt[4]a)=(1+\sqrt a)(1-\sqrt a)=1-a\)

Тогда значение выражения равно \(1-a=1-1001=-1000\).

Ответ: -1000

Задание 20 #1968

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}}\) при \(x = 131\), \(y = 69\).

Показать решение

\[\begin{gathered} \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}} =\\= \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3}) - \sqrt[3]{y^2}(\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3})} =\\= \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^2}(x + y) - \sqrt[3]{y^2}(x + y)} =\\= \frac{(x - y)\cdot(x + y)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})\cdot(x + y)} = x - y = 131 - 69 = 62\end{gathered}\]

Ответ: 62

Задание 21 #1960

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}\), если \(1<x<2\).

Показать решение

\[\begin{gathered} \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x - 1 + 2\sqrt{x-1} + 1} + \sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x-1} + 1} =\\= \sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^2} = |\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1|\end{gathered}\]

Так как \(1<x<2\), то \(0 < x - 1 < 1\) \(\Rightarrow\) \(0 < \sqrt{x - 1} < 1\) \(\Rightarrow\) \(-1 < \sqrt{x - 1} - 1 < 0\) \(\Rightarrow\) \[|\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1| = (\sqrt{x - 1} + 1) - (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{x - 1} + 1 - \sqrt{x - 1} + 1 = 2\]

Ответ: 2

1 2 3 4