Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные иррациональные выражения (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);

 

\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);

 

\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).

 

\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:

\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right)\) при \(x = 4\frac{5}{7}\), \(y = 5\frac{2}{7}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right) = \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{y} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right) =\\= (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = x + y = 4\frac{5}{7} + 5\frac{2}{7} = 10\end{gathered}\]

Ответ: 10

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}} - \sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2\) при \(\displaystyle a = \frac{1}{2}\), \(b = 0,1\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}} - \sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 =\\= \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 - 2\cdot\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}}\cdot\sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}} + \left(\sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 =\\= a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2} - 2\cdot\sqrt{(a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2})\cdot(a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2})} + a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2} =\\= 2a^2 - 2\cdot\sqrt{(a^2)^2 - (a\sqrt{a^2 - b^2})^2} = 2a^2 - 2\cdot\sqrt{a^4 - a^2\cdot(a^2 - b^2)} =\\= 2a^2 - 2\cdot\sqrt{a^4 - a^4 + a^2b^2} = 2a^2 - 2\cdot\sqrt{(ab)^2} = 2a^2 - 2ab = 2a\cdot(a - b) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2} - 0,1\right) = 0,5 - 0,1 = 0,4\end{gathered}\]

Ответ: 0,4

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2)\) при \(p = 7\), \(q = 2\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2) =\\= (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p})^2 - 2\cdot\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q} + (\sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p})^2 +2\cdot\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q} + (\sqrt[4]{q})^2) =\\= (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{p} + \sqrt{q}) = (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(2\sqrt{p} + 2\sqrt{q}) =\\= 2\cdot(\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(\sqrt{p} + \sqrt{q}) = 2\cdot((\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2) = 2\cdot(p - q) = 2\cdot(7 - 2) = 2\cdot5 = 10\end{gathered}\]

Ответ: 10

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{-6s + 9 + s^2} + \sqrt{s^2 - 26s + 169}\), при \(3 < s < 12\).

Добавить задание в избранное

В подкоренных выражениях можно узнать полные квадраты: \[\sqrt{-6s + 9 + s^2} + \sqrt{169 - 26s + s^2} = \sqrt{(s - 3)^2} + \sqrt{(s - 13)^2} = \lvert s - 3 \rvert + \lvert s - 13 \rvert.\] Вспомнив, что \(3 < s < 12\), раскроем эти модули: \[\lvert s - 3 \rvert + \lvert s - 13 \rvert = s - 3 - (s - 13) = 10.\]

Ответ: 10

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1+\sqrt[16]a)(1+\sqrt[32]a)(1-\sqrt[32]a)\]

если \(a=1001\).

Добавить задание в избранное

Применяя формулу разности квадратов \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\), данное выражение мы можем преобразовать следующим образом:

 

\((1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1+\sqrt[16])(1-\sqrt[16]a)=(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1-\sqrt[8]a)=\)

 

\(=(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1-\sqrt[4]a)=(1+\sqrt a)(1-\sqrt a)=1-a\)

 

Тогда значение выражения равно \(1-a=1-1001=-1000\).

Ответ: -1000

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}}\) при \(x = 131\), \(y = 69\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}} =\\= \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3}) - \sqrt[3]{y^2}(\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3})} =\\= \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^2}(x + y) - \sqrt[3]{y^2}(x + y)} =\\= \frac{(x - y)\cdot(x + y)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})\cdot(x + y)} = x - y = 131 - 69 = 62\end{gathered}\]

Ответ: 62

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}\), если \(1<x<2\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x - 1 + 2\sqrt{x-1} + 1} + \sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x-1} + 1} =\\= \sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^2} = |\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1|\end{gathered}\]

Так как \(1<x<2\), то \(0 < x - 1 < 1\) \(\Rightarrow\) \(0 < \sqrt{x - 1} < 1\) \(\Rightarrow\) \(-1 < \sqrt{x - 1} - 1 < 0\) \(\Rightarrow\) \[|\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1| = (\sqrt{x - 1} + 1) - (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{x - 1} + 1 - \sqrt{x - 1} + 1 = 2\]

Ответ: 2

1 2 3 4