Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные иррациональные выражения (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);

 

\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);

 

\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).

 

\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:

\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).

Задание 15 #1961
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right)\) при \(x = 4\frac{5}{7}\), \(y = 5\frac{2}{7}\).

\[\begin{gathered} \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right) = \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}\right)\left((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[3]{y} + \left(\sqrt[3]{y}\right)^2\right) =\\= (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = x + y = 4\frac{5}{7} + 5\frac{2}{7} = 10\end{gathered}\]

Ответ: 10

Задание 16 #1965
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}} - \sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2\) при \(\displaystyle a = \frac{1}{2}\), \(b = 0,1\).

\[\begin{gathered} \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}} - \sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 =\\= \left(\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 - 2\cdot\sqrt{a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2}}\cdot\sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}} + \left(\sqrt{a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2}}\right)^2 =\\= a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2} - 2\cdot\sqrt{(a^2 + a\sqrt{a^2 - b^2})\cdot(a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2})} + a^2 - a\sqrt{a^2 - b^2} =\\= 2a^2 - 2\cdot\sqrt{(a^2)^2 - (a\sqrt{a^2 - b^2})^2} = 2a^2 - 2\cdot\sqrt{a^4 - a^2\cdot(a^2 - b^2)} =\\= 2a^2 - 2\cdot\sqrt{a^4 - a^4 + a^2b^2} = 2a^2 - 2\cdot\sqrt{(ab)^2} = 2a^2 - 2ab = 2a\cdot(a - b) = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2} - 0,1\right) = 0,5 - 0,1 = 0,4\end{gathered}\]

Ответ: 0,4

Задание 17 #1966
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2)\) при \(p = 7\), \(q = 2\).

\[\begin{gathered} (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p} - \sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p} + \sqrt[4]{q})^2) =\\= (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot((\sqrt[4]{p})^2 - 2\cdot\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q} + (\sqrt[4]{q})^2 + (\sqrt[4]{p})^2 +2\cdot\sqrt[4]{p}\cdot\sqrt[4]{q} + (\sqrt[4]{q})^2) =\\= (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{p} + \sqrt{q}) = (\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(2\sqrt{p} + 2\sqrt{q}) =\\= 2\cdot(\sqrt{p} - \sqrt{q})\cdot(\sqrt{p} + \sqrt{q}) = 2\cdot((\sqrt{p})^2 - (\sqrt{q})^2) = 2\cdot(p - q) = 2\cdot(7 - 2) = 2\cdot5 = 10\end{gathered}\]

Ответ: 10

Задание 18 #521
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{-6s + 9 + s^2} + \sqrt{s^2 - 26s + 169}\), при \(3 < s < 12\).

В подкоренных выражениях можно узнать полные квадраты: \[\sqrt{-6s + 9 + s^2} + \sqrt{169 - 26s + s^2} = \sqrt{(s - 3)^2} + \sqrt{(s - 13)^2} = \lvert s - 3 \rvert + \lvert s - 13 \rvert.\] Вспомнив, что \(3 < s < 12\), раскроем эти модули: \[\lvert s - 3 \rvert + \lvert s - 13 \rvert = s - 3 - (s - 13) = 10.\]

Ответ: 10

Задание 19 #1898
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1+\sqrt[16]a)(1+\sqrt[32]a)(1-\sqrt[32]a)\]

если \(a=1001\).

Применяя формулу разности квадратов \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\), данное выражение мы можем преобразовать следующим образом:

 

\((1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1+\sqrt[16])(1-\sqrt[16]a)=(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1+\sqrt[8]a)(1-\sqrt[8]a)=\)

 

\(=(1+\sqrt a)(1+\sqrt[4]a)(1-\sqrt[4]a)=(1+\sqrt a)(1-\sqrt a)=1-a\)

 

Тогда значение выражения равно \(1-a=1-1001=-1000\).

Ответ: -1000

Задание 20 #1968
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}}\) при \(x = 131\), \(y = 69\).

\[\begin{gathered} \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^5} + \sqrt[3]{x^2y^3} - \sqrt[3]{x^3y^2} - \sqrt[3]{y^5}} =\\= \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3}) - \sqrt[3]{y^2}(\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[3]{y^3})} =\\= \frac{(x^2 - y^2)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{\sqrt[3]{x^2}(x + y) - \sqrt[3]{y^2}(x + y)} =\\= \frac{(x - y)\cdot(x + y)\cdot(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})}{(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{y^2})\cdot(x + y)} = x - y = 131 - 69 = 62\end{gathered}\]

Ответ: 62

Задание 21 #1960
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}\), если \(1<x<2\).

\[\begin{gathered} \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x - 1 + 2\sqrt{x-1} + 1} + \sqrt{x - 1 - 2\sqrt{x-1} + 1} =\\= \sqrt{(\sqrt{x - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x - 1} - 1)^2} = |\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1|\end{gathered}\]

Так как \(1<x<2\), то \(0 < x - 1 < 1\) \(\Rightarrow\) \(0 < \sqrt{x - 1} < 1\) \(\Rightarrow\) \(-1 < \sqrt{x - 1} - 1 < 0\) \(\Rightarrow\) \[|\sqrt{x - 1} + 1| + |\sqrt{x - 1} - 1| = (\sqrt{x - 1} + 1) - (\sqrt{x - 1} - 1) = \sqrt{x - 1} + 1 - \sqrt{x - 1} + 1 = 2\]

Ответ: 2